Molti metodi numerici per PDE iperbolici si basano sull'uso dei solutori di Riemann. Tali solutori sono essenziali per catturare accuratamente le onde d'urto. Esistono diversi solutori disponibili per i sistemi più studiati (ad es. Solutori esatti, solubili di uova, solutori di HLL). Come devo decidere quale usare?
Risposte:
Per la soluzione numerica di PDE iperbolici l'uso dei solutori di Riemann sono componenti essenziali dei metodi conservativi di cattura degli shock per una simulazione accurata dei problemi delle onde che possono avere shock (salti discontinui nelle variabili conservate). Per essere in grado di ottenere soluzioni accurate a tali problemi, dobbiamo utilizzare le tecniche di riavvolgimento adeguate - il risolutore Riemann è responsabile di questo. Il solutore di Riemann cerca una soluzione accurata al problema dell'interfaccia tra celle (fx. In volumi finiti) o elementi (fx. In metodi discontinui di Galerkin agli elementi finiti). La soluzione di questo problema di interfaccia si basa sulla soluzione di entrambi i lati dell'interfaccia e cerca di utilizzarla come base per una ricostruzione accurata del flusso (numerico) (in termini di variabili conservate) attraverso l'interfaccia.
Esistono due approcci standard alla soluzione di tali problemi (locali all'interfaccia) di Riemann, ovvero i solutori di Riemann esatti e approssimativi. Per molti PDE non esiste una soluzione a forma chiusa esatta nel qual caso dobbiamo ricorrere a solutori approssimativi di Riemann. In pratica, può anche essere (troppo) costoso risolvere esattamente i problemi di Riemann, nel qual caso può essere più pratico ricorrere a solutori approssimativi di Riemann. Per lo stesso motivo, i flussi di tipo Lax-Freidrichs sono ampiamente utilizzati come mezzo semplice.
In sostanza, la scelta tra i solutori di Riemann ha a che fare con la precisione con cui si cerca di rappresentare le velocità d'onda della soluzione e l'efficienza risultante.
Dipende dal problema. Il problema di Riemann si basa sui dati provenienti da entrambi i lati delle interfacce delle celle. Per ricostruire il flusso all'interfaccia in base a questi dati, dobbiamo conoscere le informazioni sulla struttura a onda piena del PDE iperbolico in questione. Ciò rende il problema di Riemann dipendente dal problema e quindi anche la scelta del solutore di Riemann. In breve, i solutori esatti cercano di prendere in considerazione la struttura dell'onda completa, il solutore Roe si basa sull'approssimazione locale (mediante linearizzazione e media speciale) della struttura d'onda locale, il solutore HLL si basa sulla stima di due velocità d'onda dominanti nel locale struttura delle onde e quindi imporre la conservazione soddisfacendo la condizione di Rankine-Hugoniot per resistere agli shock o alle discontinuità di contatto.
Pertanto, la scelta tra solutori specifici, solutori esatti o solutori approssimativi di Roe / HLL / etc dipende dal raggiungimento di un equilibrio tra accuratezza (nel mimare la fisica di base delle equazioni del modello) ed esigenze di efficienza. Alla fine - per come la vedo io - nell'applicazione pratica sono spesso i requisiti di efficienza a dettare l'uso di solutori approssimativi di Riemann (fx. Del tipo Lax-Friedrichs).
Una buona esposizione sull'argomento è data da EF Toro nel suo libro di testo "Solutori di Riemann e metodi numerici per la fluidodinamica", Springer.
Sono stato portato a credere che per i numeri di ordine basso si necessitano solutori di Riemann di alta qualità e per i numeri di ordine elevato si possono usare solutori di Riemann di bassa qualità. Intuitivamente c'è un certo numero di FLOP necessari per catturare la fisica al di sotto della quale si è curati.
E, sì, c'è anche zero contenuto in questa risposta dal punto di vista della metrica di valutazione ...