Quali metodi di integrazione temporale dovremmo usare per le PDE iperboliche?

Se impieghiamo il Metodo delle Linee per la discretizzazione (distinzione temporale e spaziale separata) dei PDE iperbolici che otteniamo dopo la discretizzazione spaziale con il nostro metodo numerico preferito (fx. Metodo del volume finito), in pratica importa quale solutore ODE impieghiamo per la discretizzazione temporale (TVD / SSP / etc)?

Aggiunte alcune informazioni aggiuntive: il problema dell'accuratezza può essere un problema per problemi non regolari. È noto che le PDE iperboliche non lineari possono sviluppare shock in tempi finiti nonostante la soluzione iniziale sia fluida, nel qual caso l'accuratezza può degradare al primo ordine per metodi di alto ordine.

L'analisi di stabilità ODE viene in genere eseguita in base alla linearizzazione per ottenere un sistema lineare semi-discreto di ODE di forma q_t = J q (con vettore di perturbazione qa), in cui gli autovalori di J devono essere ridimensionati all'interno della regione di stabilità assoluta del tempo scelto- metodo di stepping. Strategie alternative è l'uso di pseudospectra o possibilmente un metodo energetico per l'analisi della stabilità.

Comprendo che la motivazione per i metodi TVD / SSP è quella di evitare oscillazioni spurie causate dai metodi di stepping time che possono comportare comportamenti non fisici. La domanda è se le esperienze mostrino che questi tipi di metodi di time-stepping sono superiori rispetto, ad esempio, a un cavallo da lavoro classico come il metodo esplicito di Runge-Kutta o altri. Ovviamente, dovrebbero avere proprietà migliori per le classi di problemi in cui la soluzione può presentare shock. Si potrebbe quindi sostenere che dovremmo utilizzare solo questi tipi di metodi per l'integrazione temporale.

Non so se sei ancora interessato a una risposta, ma qui vado comunque:

Hai già detto di conoscere la formazione di shock nelle equazioni non lineari. Questo è esattamente il motivo per cui devi scegliere attentamente il tuo integratore di tempo. Inutile applicare una discretizzazione spaziale TVD quando la discretizzazione temporale non lo è: vedrai le stesse oscillazioni che probabilmente hai visto con flussi numerici di ordine superiore.

Ciò che si riduce è che Euler funziona in avanti. Hai già citato SSP (forte stabilità di conservazione) nella tua domanda. Questa è una classe speciale di metodi Runge-Kutta che ne fa uso. Fondamentalmente, devi scegliere i coefficienti del metodo in modo tale che possa essere scritto come una combinazione convessa di passi di Eulero. In questo modo, proprietà come TVD e simili verranno preservate.

C'è un ottimo libro sui metodi SSP di Gottlieb, Ketcheson e Shu intitolato " Amazon Stability Preserving Runge-Kutta and Multistep Time Discretizations" link amazon

Sì, importa. Le solite due cose di cui preoccuparsi:

1. Precisione. Alcuni schemi ODE sono più precisi di altri, di ordine superiore e così via. La regola empirica è scegliere un metodo con un ordine di accuratezza simile alla tua discretizzazione spaziale.

2. Stabilità. Per problemi iperbolici, ti aspetti che l'operatore abbia autovalori immaginari puri, quindi desideri un risolutore ODE che includa una parte dell'accesso immaginario nel suo dominio di stabilità. Vedi ad esempio l'appendice G di Fornberg, una guida pratica ai metodi pseudospettrali.

Con equazioni iperboliche, alcune persone vogliono assicurarsi che le loro soluzioni siano sempre positive, quindi ci sono vari tipi di filtri e trucchi per assicurarlo. Ma di questo non so quasi nulla.

Sono tutt'altro che un esperto, ma ho pensato di provare a rispondere poiché la domanda è qui da un po '.