Solutori PDE per Drift-diffusion e relativi modelli

Sto cercando di simulare i modelli base di semiconduttori per scopi pedagogici, partendo dal modello Drift-diffusion. Anche se non voglio usare un simulatore di semiconduttori standard, imparerò altri modelli (comuni, recenti o oscuri), voglio usare un risolutore PDE standard.

Ma anche per il semplice caso 1D, il modello di diffusione alla deriva è costituito da un numero di PDE non lineari accoppiati:

Equazioni della densità di corrente

J_{n} = q n (x) μ_{n} E (x) + q D_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$

J_{p} = q p (x) μ_{p} E (x) + q D_{p} \nabla p

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$

Equazione di continuità

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} + U_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} + U_{p}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

Equazione di Poisson

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = - (p - n + N_{D}^{+} - N_{A}^{-})

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

e una serie di condizioni al contorno.

Ho provato alcuni solutori FEM Python, FEniCS / Dolfin e SfePy , ma senza fortuna, a causa dell'incapacità di formularli nella forma variazionale debole con funzioni di test.

Esiste ovviamente l'opzione di implementare la soluzione numerica da zero, ma non ho ancora studiato FEM / Numerical in modo approfondito, quindi spero che non sia la mia unica opzione in quanto non voglio essere sopraffatto da problemi numerici.

Quindi esiste un pacchetto (pref. Open source) che prenderebbe queste equazioni, in quella forma, e le risolverà? O forse la forma variazionale richiesta dagli strumenti non è così difficile? In ogni caso, quali sono le mie opzioni?

Grazie

Modifica: tentativo di formulare la forma variazionale debole per FEniCS / Dolfin o SfePy

$u_V$

\frac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (C_{1} n \nabla V + C_{2} \nabla n) + U

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$

C_{1}, C_{2}

$C_1, C_2$

U, n, p, V

$U, n, p, V$

$f_n$

\int_{Ω} f_{n} \frac{n - n_{1}}{Δ t} d Ω - C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω - C_{2} \int_{Ω} f_{n} \nabla^{2} n d Ω - \int_{Ω} f_{n} U d Ω

$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$

$\mathbf{\nabla V}$ $V, u_n, n$ $\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω = C_{1} \int_{Ω} f_{n} (\nabla V \cdot \nabla n) + C_{1} \int_{Ω} f_{n} n \nabla \cdot \nabla V

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$

Poiché V è risolto dall'equazione di Poisson, possiamo usare il valore calcolato di recente come consentito dal software Dolfin / FEniCS e semplificare il modo in cui trattiamo V in questa seconda equazione accoppiata? Questo tipo di tecniche funziona mentre discretizza (ad esempio Gummel, ...), cosa che non faccio in questi risolutori pronti!

$J_n$ $n$ $J_n, J_p, n, p, V$ $J_n$

pde

— Weaam
fonte

Perché non riesci a scrivere le loro forme deboli?

— Bill Barth,

@BillBarth Ho modificato la mia domanda, per favore dai un'occhiata. Grazie.

— Weaam,

La tua integrazione per parti è sbagliata. Controlla la formula, mancano segni, hai più derivati sulla destra che sulla sinistra e ti sei dimenticato dell'integrale di confine.

— Wolfgang Bangerth,

u_{n}

$u_n$

Sì, avrei dovuto essere più attento. Controlla la mia modifica, in particolare la mia domanda su come trattiamo V poiché avrebbe dovuto essere già risolto dal PDE precedente. Questo ha qualche effetto sulla forma variazionale? Grazie.

— Weaam,

La formulazione di Scharfetter-Gummel (SG) è comunemente usata per risolvere le equazioni di densità attuali. Questa è una formulazione speciale che supera le difficoltà nel risolvere la dipendenza non lineare tra potenziale e densità attuale.

Un testo standard che discute di come queste equazioni utilizzano i metodi di integrazione box in questo libro: Selberherr, S., Analisi e simulazione di dispositivi a semiconduttore. Springer-Verlag 1984

Questo tipo di simulazione si chiama Technology Computer Aided Design (TCAD). A differenza del metodo degli elementi finiti (FEM), il metodo del volume finito (FVM) viene utilizzato per calcolare le correnti. Questo perché si adatta alla formulazione SG che è stata mostrata (dai professionisti di questo metodo) per funzionare quando si risolvono le equazioni di densità correnti.

Se si desidera risolvere questo problema utilizzando PDE generalizzati, COMSOL ha un modulo a semiconduttore che risolve questo problema utilizzando un metodo ibrido FEM / FVM.

Inoltre, i simulatori TCAD commerciali e open source sono elencati qui: http://www.tcadcentral.com

Per quanto ne so, i solutori TCAD generalizzati PDE sono DEVSIM, FLOOPS, PROPHET. Gli strumenti commerciali tendono ad avere la maggior parte delle equazioni fisiche codificate in un linguaggio compilato come C ++.

— Juan
fonte

Mi scuso per la risposta estremamente tardiva. Mi sono reso conto che un'applicazione così diretta di DD (anche con SG) era piuttosto instabile (almeno la mia implementazione in Fenics), quindi l'ho abbandonata. In un corso successivo VLSI, ho effettivamente utilizzato gli strumenti Comsol e TCAD. Grazie per la tua risposta esaustiva.

— Weaam,