griglia uniforme vs. non uniforme

Probabilmente è una domanda a livello di studente, ma non riesco proprio a farcela da solo. Perché è più preciso utilizzare griglie non uniformi nei metodi numerici? Sto pensando nel contesto di un metodo a differenza finita per il PDE della forma . E supponiamo che io sia interessato a una soluzione al punto x ∗ . Quindi, posso vedere che se approssimo la seconda derivata, ad esempio su una griglia uniforme usando un'approssimazione di tre punti, l'errore è il secondo ordine O ( h 2$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$x^{\ast}$$O(h^2)$. Quindi posso costruire una griglia non uniforme tramite una mappatura e trovare coefficienti per i tre punti utilizzati per approssimare la derivata. Posso fare le espansioni di Taylor e ottenere di nuovo un limite affinché la derivata sia un secondo ordine , dove h è la distanza su una griglia uniforme da cui ho ottenuto la mappatura su una griglia non uniforme. Entrambe le stime contengono derivati ​​e non mi è chiaro perché la soluzione sarebbe più accurata su una griglia non uniforme in quanto dipende dall'entità dei derivati ​​corrispondenti nelle stime di errore? $O(h^2)$$h$

La logica delle maglie non uniformi va così (tutte le equazioni intese come qualitative, vale a dire, in generale vere ma senza la pretesa di essere dimostrabili in tutte le circostanze e per tutte le equazioni o tutte le possibili discretizzazioni):

Quando si risolve un'equazione con, diciamo, elementi finiti lineari, in genere si ha una stima dell'errore del tipo oppure , equivalentemente ma in una forma più adatta a quanto segue: ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C h 4 max ‖

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ Tuttavia, questo è sopravvalutato. In effetti, in molti casi si può dimostrare che l'errore è effettivamente della forma ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C ∑ K ∈ T h 4 K ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( K ) . Qui, K sono le celle della triangolazione $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$. Ciò dimostra che per ridurre l'errore, non è effettivamente necessario ridurre la dimensione massima della mesh . Piuttosto, la strategia più efficace sarà quello di equilibrare la contributi errore cellwise h 4 K ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( K ) - in altre parole, si dovrebbe scegliere h K α ‖ ∇ 2 u ‖ - 1 / 2 L 2 ( K ) . In altre parole, la dimensione della mesh locale $h_\text{max}$$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ dovrebbe essere piccolo dove la soluzione è ruvida (ha grandi derivati) e grande dove la soluzione è liscia, e la formula sopra fornisce una misura quantitativa per questa relazione.$h_K$

Dimostralo a te stesso con questo esempio. Qual è l'errore massimo quando si interpola sqrt (x) sull'intervallo [0,1] con interpolazione lineare a tratti su una mesh uniforme?

Qual è l'errore massimo quando si interpola su una mesh in cui l'ith di n punti è dato da (i / n) ^ s, e s è un parametro di classificazione della mesh scelto con cura?

Il motivo tipico per cui una non uniforme può portare a una maggiore precisione è che il PDE da risolvere non ha la forma $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

$u(x,0)$

Kamil, la risoluzione dell'equazione differenziale è globale, l'interpolazione è locale. Nell'interpolazione polinomiale a tratti, l'accuratezza lontana dalla singolarità non sarà disturbata dalla singolarità. Sfortunatamente, questo non è affatto vero per risolvere un'equazione ellittica, come un problema di valore al limite a due punti. La singolarità inquinerà l'approssimazione a livello globale.

Ecco qualcosa da provare. Risolvi D (sqrt (x) Du) su [0,1] con Dirichlet bcs D omogeneo è l'operatore di differenziazione. Usa elementi finiti o differenze finite su una mesh uniforme a n punti. Confronta con una mesh in cui il punto ith è (1 / n) ^ 1.5. Si noti che l'errore peggiore per la mesh uniforme è lontano dalla singolarità e molto più grande rispetto alla mesh graduata.