Quando utilizziamo i polinomi di Bernstein nell'applicazione

Quando è preferibile utilizzare i polinomi di Bernstein per approssimare una funzione continua invece di utilizzare i seguenti metodi preliminari di analisi numerica: "Polinomi di Lagrange", "Operatori di differenze finite semplici".

La domanda riguarda il confronto di questo metodo.

I polinomi di Bernstein e i polinomi di Lagrange si estendono entrambi negli stessi spazi. Quindi in termini di possibili funzioni che uno può rappresentare, usare l'una o l'altra non fa differenza. Tuttavia, se stai pensando di usarle come funzioni di base in un metodo ad elementi finiti o in un problema di interpolazione, le proprietà spettrali dell'operatore lineare che creerai dipenderanno dai polinomi che scegli come base. Ciò può causare differenze nella convergenza dei solutori iterativi. Tuttavia, in assenza di errore di algebra lineare, otterrai la stessa risposta utilizzando entrambe le basi.

Confrontando questo con le differenze finite, gli operatori sono una storia diversa. L'uso dei polinomi ti darà approssimazioni di errore su una norma continua. Non sono altrettanto esperto di differenze finite, ma la mia comprensione è che otterrai una stima dell'errore solo nelle posizioni che scegli di discretizzare. Ciò che accade tra questi punti non è così chiaro.

Uso i polinomi di Bernstein in un metodo di collocazione per risolvere problemi di valore al contorno per ODE e PDE. Sono abbastanza interessanti.

La convergenza era esponenziale per alcuni BVP lineari, ma leggermente più lenta rispetto alla collocazione di Chebyshev, Legendre Galerkin e Tau.

Ecco la figura che confronta i tassi di convergenza con alcuni metodi spettrali di Chebyshev. Il problema di esempio è BVP lineare:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

$C=-4e/(1+e)^2$

Ho anche caricato questa cifra su figshare .

Se vuoi, puoi controllare il codice che sto scrivendo:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

Ed ecco il documento arxiv che ho scritto sulla risoluzione di BVP ellittici su un quadrato usando la collocazione polinomiale di Bernstein.

L'anno scorso hanno celebrato un centenario di polinomi di Bernstein - un altro fatto interessante.

L'articolo che segue mostra che la rappresentazione di polinomi in forma di Bernstein porta ad algoritmi numericamente stabili in molti casi:

RT Farouki, VT Rajan, Sulla condizione numerica dei polinomi in forma di Bernstein, Computer Aided Geometric Design , Volume 4, Numero 3, Novembre 1987, Pagine 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

I punti di controllo di una curva di Bézier sono vicini alla curva, ma non necessariamente sulla curva. Questa è esattamente la stessa situazione dell'approssimazione dei polinomi di Bernstein, e in effetti i polinomi di Bernstein sono la base della curva di Bézier. Potresti usare una curva di Bézier di alto ordine per tracciare una linea liscia attraverso una curva data da punti rumorosi, inoltre nessuno lo farebbe a causa dell'elevato sforzo computazionale. In effetti, l'interpolazione polinomiale di alto ordine viene usata solo raramente proprio per questa ragione, solo l'interpolazione di Chebyshev è occasionalmente un'eccezione a quella regola.

Ma se stiamo parlando solo di interpolazione polinomiale di basso ordine, allora la specifica intuitiva di una curva di Bézier tramite punti di controllo è un chiaro vantaggio rispetto ad altri metodi. Tuttavia, a questo proposito, NURBS è ancora migliore, ma almeno una curva di Bézier è un caso speciale di una NURBS e i polinomi di Bernstein sono anche un ingrediente importante per NURBS.