Aggiornamento diagonale di una matrice definita positiva simmetrica

è unamatrice sparsa simmetrica positiva definita (SPD). è una matrice diagonale sparsa. è grande ( > 10000) e il numero di nonzeros in è di solito 100 ~ 1000. $A$ $n \times n$ $G$ $n$ $n$ $G$

è stato fattorizzato nella forma di Cholesky come . $A$ $LDL^T$

Come aggiornare e efficiente quando diventa ? $L$ $D$ $A$ $A+G$

linear-algebra

G ha solo elementi positivi? In tal caso, ecco un limite superiore banale: visualizza l'aggiornamento diagonale come somma degli aggiornamenti di rango uno. Esistono metodi O (n ^ 2) per calcolare la fattorizzazione LDL ^ t di un aggiornamento di livello uno (la ricerca di Google fornisce esempi). Quindi il tuo aggiornamento diagonale verrà eseguito in O (rn ^ 2) dove r è il numero di elementi diagonali diversi da zero di G. Data la natura specifica di questi aggiornamenti ci sono scorciatoie per salvare alcuni calcoli, ma non è chiaro se è possibile ridurre l'ordine sotto O (rn ^ 2).

Sono d'accordo- Non credo che ci sia alcun modo per eseguire gli aggiornamenti diagonali di una fattorizzazione di Cholesky più velocemente della semplice ripetizione della fattorizzazione, ma è possibile effettuare gli aggiornamenti di grado uno in

e devi fare solo uno per ciascuno nonzero sulla diagonale di

O (m^{2})

$O(m^2)$

G

$G$

— Brian Borchers,

Per

nell'ordine delle centinaia, sarà difficile da battere il refactoring

. Se la dimensione di

diventa molto più grande e

è molto scarsa, potrebbe ripagare. In ogni caso, i possibili aggiornamenti e approssimazioni sono trattati in modo approfondito da I sistemi lineari simmetrici fissi e diagonali possono essere risolti in un tempo quadratico dopo il pre-calcolo? .

n \sim 10^{4}

$n \sim 10^4$

n n z (G)

$\mathrm{nnz}(G)$

A

$A$

A

$A$

G

$G$

— Jed Brown,

Jed, penso che dovresti promuovere il tuo commento a una risposta qui.

— Michael Grant,

L'ultima versione del pacchetto CHOLMOD SuiteSparse (beta 4.4.5) supporta la modifica di una riga / colonna simmetrica (aggiornamento rank2) per la decomposizione di $LDL^T$ , utilizzando un'API matlab (e C). L'ho usato con successo in uno dei miei progetti.

Puoi usarlo per fare $nnz(G)$ aggiornamenti alla fattorizzazione. Si basa su questo documento.

Pertanto, la complessità sarà $O(nnz(G)*nnz(L))$ . Dove $nnz(L)$ può essere significativamente ridotto quando si utilizza una permutazione che riduce il riempimento per una sparsa $A$

Il pacchetto può essere scaricato da qui

Di seguito sono riportate alcune note fornite dal proprietario del pacchetto (Prof. Tim Davis):

API:

LD = ldlrowmod (LD, k) elimina la riga / colonna k, impostando A (:, k) e A (k, :) sulla kth riga / colonna dell'identità.

LD = ldlrowmod (LD, k, C) sostituisce la kth row / col di A (che deve essere la kth row / col di identità) con la colonna sparsa C.

Complessità:

$O(nnz(L))$ $nnz(L)$ $O(n)$ $O(n)$

Riempimento riducente permutazione:

$LDL^T$ $LDL^T$ $PAP^T$ $L$

— Yuval Atzmon
fonte