problema di assegnazione di alto rango basso denso

Esiste un metodo ragionevolmente economico per risolvere il problema di assegnazione di grandi dimensioni, denso e di basso rango , dove corre su tutte le permutazioni. Di ? $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ $\pi$ $1:n$

Qui $A$ è una matrice $n\times n$ di rango basso $r$ . Le dimensioni tipiche sarebbero $n=10000~~$ (forse molto più grandi), $r=15$ .

optimization

— Arnold Neumaier
fonte

Per

π i

$\pi i$ intendo il prodotto in modo che stai avanzando nella matrice per diversi

π

$\pi$ ?

— Bill Barth,

π

$\pi$ corre su tutte le permutazioni.

— Arnold Neumaier l'

Non dovrebbe essere

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$ allora?

— Jack Poulson

@JackPoulson:

\i (i)

$\i(i)$ e

π i

$\pi i$ sono due diverse notazioni per l'immagine di

i

$i$ sotto la permutazione

π

$\pi$ .

— Arnold Neumaier l'

Domanda interessante! Stai cercando di sfruttare la struttura di basso livello solo per motivi di archiviazione , ovvero per evitare di dover formare l'intera matrice quando si applica un algoritmo di assegnazione tradizionale? O stai cercando un modo per sfruttare il livello basso per accelerare la ricerca?

— Michael Grant,

Poiché con , abbiamo dove è la matrice di permutazione corrispondente a . $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

Per qualsiasi , la traccia può essere calcolata come (Questa quantità è anche nota come prodotto Frobenius , ). $\pi$

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

Questa idea non toglie l'onere di dover passare attraverso tutte le permutazioni e forza bruta ricerca del massimo di tutti i prodotti di Frobenius, ed in effetti è ha la stessa complessità aritmetica come calcolare esplicitamente . Tuttavia, ha i requisiti di memoria molto più bassi dal momento che non hai mai di formare in realtà . $A=R_1R_2^T$ $A$

— Nico Schlömer
fonte