Deviazioni assolute minime utilizzando l'algoritmo Barrodale-Roberts: terminazione prematura?

Per favore, scusa la domanda a lungo, ha solo bisogno di alcune spiegazioni per arrivare al problema reale. Quelli che hanno familiarità con gli algoritmi citati probabilmente potrebbero saltare direttamente al primo tablau simplex.

Per risolvere i problemi di deviazione meno assoluta ( nota anche come ottimizzazione di ), l'algoritmo Barrodale-Roberts è un metodo simplex per scopi speciali che richiede molto meno sforzi di archiviazione e di calcolo per trovare un minimo adeguato. $L_1$

La mia implementazione dell'algoritmo termina con un semplice esempio prima di raggiungere un minimo adeguato. Tuttavia, probabilmente vorrei prima chiarire il problema in modo più elaborato:

Dati dati , -ottimizzazione tenta di trovare che minimizza $(x_i,y_i)$ $L_1$ $c\in m$ dove è unamatrice che dipende in qualche modo da . Questo problema può essere dichiarato come un programma lineare e quindi, tra l'altro, può essere risolto usando metodi simil-simplex.

\sum_{i = 1}^{n} | y_{i} - f (x_{i}) | with f (x) := A_{x} \cdot ϕ

$\sum_{i=1}^n |y_i-f(x_i)| \quad\text{with}\quad f(x):=A_x\cdot \phi$

A_{x}

$A_x$

n \times m

$n\times m$

x

$x$

$L_1$ $\mathop{rank}(A)$

Lei e Anderson nel 2002 hanno proposto una piccola modifica che dovrebbe aumentare la stabilità numerica e quindi superare i problemi noti con l'algoritmo simplex.

Fondamentalmente, questo algoritmo presuppone che si inizi con una determinata serie di punti che devono essere interpolati, utilizzare le procedure indicate per costruire un tableau simplex e quindi utilizzare le regole di Barrodale e Roberts per decidere su quali basi cambiare le variabili e quindi modificare il insieme di punti dati approssimativi.

$\{(1,1), (2,1), (3,2), (4,3), (5,2)\}$ $a_1+a_2x$

\begin{array}{llll} Basis & R & u_{1} & u_{3} \\ b_{1} & 1 / 2 & 3 / 2 & - 1 / 2 \\ v_{2} & 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ b_{2} & 1 / 2 & - 1 / 2 & 1 / 2 \\ u_{4} & 1 / 2 & 1 / 2 & - 3 / 2 \\ v_{5} & 1 & - 1 & 2 \\ Marginal cost & 2 & - 1 & 0 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll} \hline \text{Basis}&R& u_1 & u_3\\ \hline b_1 & 1/2 & 3/2 & -1/2 \\ v_2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ b_2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ u_4 & 1/2 & 1/2 & -3/2 \\ v_5 & 1 & -1 & 2 \\ \hline \text{Marginal cost} &2 & -1 & 0\\ \hline \end{array}$

$2$

Poiché tutti i vettori non di base hanno un costo marginale non positivo [...]

l'iterazione è terminata e si raggiunge l'ottimale.

$\{2, 5\}$

\begin{array}{llll} Basis & R & u_{2} & u_{5} \\ u_{1} & 1 / 3 & - 4 / 3 & 1 / 3 \\ b_{1} & 1 / 3 & 5 / 3 & - 2 / 3 \\ u_{3} & 2 / 3 & - 2 / 3 & - 1 / 3 \\ u_{4} & 4 / 3 & - 1 / 3 & - 2 / 3 \\ b_{2} & 1 / 3 & - 1 / 3 & 1 / 3 \\ Marginal cost & 7 / 3 & - 10 / 3 & - 5 / 3 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll} \hline \text{Basis}&R& u_2 & u_5\\ \hline u_1 & 1/3 & -4/3 & 1/3 \\ b_1 & 1/3 & 5/3 & -2/3 \\ u_3 & 2/3 & -2/3 & -1/3 \\ u_4 & 4/3 & -1/3 & -2/3 \\ b_2 & 1/3 & -1/3 & 1/3 \\ \hline \text{Marginal cost} &7/3 & -10/3 & -5/3\\ \hline \end{array}$

$u_2$ $u_1$

Ulteriori informazioni: se comincio con il tableau iniziale fornito da Barrodale e Roberts, sono anche in grado di riprodurre il tableau sopra con semplici passaggi simplex, quindi sono abbastanza sicuro che i valori numerici effettivi siano corretti e la mia interpretazione della regola di selezione pivot è difettoso.

Qualche idea su questo?

Mi rendo conto che la domanda in sé è piuttosto complicata e probabilmente richiede una conoscenza sufficiente dell'algoritmo di Barrodale e Roberts. L'algoritmo nel suo insieme è troppo lungo per ripeterlo qui in dettaglio. Tuttavia, se hai ulteriori domande sui passi che ho intrapreso o sulle informazioni mancanti, sentiti libero di chiedere e io aumenterò volentieri la domanda.

optimization linear-programming

— Thilo
fonte

Se qualcuno con una reputazione sufficiente potesse creare un tag sulla falsariga di "Deviazioni del minimo assoluto" o "Approssimazione L1", sarei grato.

— Thilo,

La condizione di ottimalità è che la soluzione di base deve essere fattibile (rispetto ai suoi vincoli di non negatività) e che i costi ridotti devono essere inferiori o uguali a 0. Se la soluzione di base non è fattibile, tutte le scommesse sono disattivate.

— Brian Borchers,

La soluzione di base è realizzabile per costruzione. Pertanto, non dovrebbero esserci problemi. Ho, tuttavia, una prima idea su dove possa essere il problema. Aggiungerò una risposta corrispondente se ho ragione.

— Thilo,

Risolto In realtà, Barrodale e Roberts l'hanno risolto e io non ho letto attentamente.

$u_i$ $i$ $u_i=0$ $v_i$

$b_j$ $c_j$ $u_i$ $v_i$

Pertanto, il mio quadro simplex sopra deve essere pensato come segue:

\begin{array}{llllll} Basis & R & u_{2} & u_{5} & v_{2} & v_{5} \\ u_{1} & 1 / 3 & - 4 / 3 & 1 / 3 & 4 / 3 & - 1 / 3 \\ b_{1} & 1 / 3 & 5 / 3 & - 2 / 3 & - 5 / 3 & 2 / 3 \\ u_{3} & 2 / 3 & - 2 / 3 & - 1 / 3 & 2 / 3 & 1 / 3 \\ u_{4} & 4 / 3 & - 1 / 3 & - 2 / 3 & 1 / 3 & 2 / 3 \\ b_{2} & 1 / 3 & - 1 / 3 & 1 / 3 & - 1 / 3 & - 1 / 3 \\ Marginal cost & 7 / 3 & - 10 / 3 & - 5 / 3 & 4 / 3 & - 1 / 3 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll| ll} \hline \text{Basis}&R& u_2 & u_5 & v_2 & v_5\\ \hline u_1 & 1/3 & -4/3 & 1/3 & 4/3 & -1/3 \\ b_1 & 1/3 & 5/3 & -2/3 & -5/3 & 2/3 \\ u_3 & 2/3 & -2/3 & -1/3 & 2/3 & 1/3 \\ u_4 & 4/3 & -1/3 & -2/3 & 1/3 & 2/3 \\ b_2 & 1/3 & -1/3 & 1/3 & -1/3 & -1/3 \\ \hline \text{Marginal cost} &7/3 & -10/3 & -5/3 & 4/3 & -1/3\\ \hline \end{array}$

$v_2$

Grazie per avermi letto e dandomi un posto per scrivere il mio problema, che di solito aiuta a restringere significativamente la soluzione. Speriamo che questa risposta a volte possa essere utile per chiunque cerchi di implementare Barrodale & Roberts.

— Thilo
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