Trova tutte le radici di una funzione in un dato intervallo

Ho bisogno di trovare tutte le radici di una funzione scalare in un dato intervallo. La funzione potrebbe presentare discontinuità. L'algoritmo può avere una precisione di ε (es. È ok se l'algoritmo non trova due radici distinte che sono più vicine di ε).

Esiste un tale algoritmo? Potresti indicarmi documenti a riguardo?

In realtà, ho una funzione per trovare uno zero in un determinato intervallo usando l'algoritmo di Brent e una funzione per trovare un minimo in un determinato intervallo. Usando queste due funzioni, ho creato il mio algoritmo, ma mi chiedevo se esistesse un algoritmo migliore. Il mio algoritmo è così:

Comincio con un intervallo [a,b]e una funzione f. Se sign(f(a+ε)) ≠ sign(f(b-ε)), so che c'è almeno uno zero tra ae b, e trovo z = zero(]a,b[). Provo se zè davvero uno zero (potrebbe essere una discontinuità), osservando il valore di z-εe z+ε. Se lo è, lo aggiungo all'elenco degli zeri trovati. Se f(a+ε)ed f(b-ε)entrambi sono positivi, cerco m = min(]a, b[). Se f(m)è ancora positivo, cerco m = max(]a,b[)perché potrebbe esserci una discontinuità tra ae b. Faccio il contrario se f(a+ε)e f(b-ε)fossi negativi.

Ora, dal punto in cui ho trovato ( zo m) ho creato uno stack contenente gli zeri, le discontinuità e i punti di flesso della mia funzione. Dopo la prima iterazione, lo stack ora sembra [a, z, b]. Ricomincio l'algoritmo da intervalli ]a,z[e ]z,b[. Quando, tra due punti ae b, gli estremi hanno lo stesso segno di entrambi gli intervalli, e non vi sono discontinuità in entrambi gli estremi, rimuovo l'intervallo dallo stack. L'algoritmo termina quando non ci sono più intervalli.

Se stai usando Matlab, potresti provare il sistema Chebfun (dichiarazione di non responsabilità: ero uno sviluppatore attivo di questo progetto). Può trovare tutte le radici di una funzione monodimensionale in un intervallo chiuso o aperto per la precisione della macchina.

L'idea principale dietro il root-finder di Chebfun è quella di utilizzare una combinazione di bisection ricorsiva e Matrix del collega, un analogo della Matrix Companion , sui coefficienti di un interpolante della funzione target.

Ho una versione semplificata del codice qui . La funzione chebrootsassume una funzione anonima come primo input, l'intervallo finito come secondo e terzo argomento e un grado Ncome quarto e ultimo argomento. Per risultati ragionevoli, è possibile impostare Nsu 100.

In generale, questa è una ricerca senza speranza - senza alcune informazioni sulla continuità e / o sulla differenziabilità della funzione, tutto potrebbe succedere. Consideriamo ad esempio la funzione MATLAB definita sull'intervallo da 0 a 1:

funzione y = f (x)

y = 1,0;

if (x == 0,01)

y = 0,0;

fine

if (x == 0,013)

y = 0,0;

fine

if (x == 0.753124)

y = 0,0;

fine

Trattando questa funzione come una casella di blocco, non c'è modo di vedere che ha zero in questi tre punti e nessun altro punto nell'intervallo da 0 a 1 senza controllare ogni numero in virgola mobile compreso tra 0 e 1.