Quali sono i possibili schemi numerici per un'equazione di diffusione con un termine di reazione non lineare?

Per alcuni semplici domini convessi in 2D, abbiamo alcune soddisfano la seguente equazione: con determinate condizioni al contorno di Dirichlet e / o Neumann. Per quanto ne so, applicare il metodo di Newton in uno spazio ad elementi finiti sarebbe un modo relativamente semplice per risolvere numericamente questa equazione. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Le mie domande sono: (1) Esiste una teoria di Sobolev per la buona posizione della corrispondente formulazione variazionale di questa equazione che assume una condizione al contorno di Dirichlet zero? In tal caso, quale spazio Banach dovremmo considerare? (2) Quali sono i possibili approcci numerici per questo tipo di equazione?

pde finite-element

— Shuhao Cao
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Con "possibili approcci numerici", stai chiedendo della discretizzazione o dei solutori algebrici?

— Jed Brown,

Vedo due approcci:

1) Arbitrario f (u). Metti semplicemente f ~ f (u0) sul lato destro dell'equazione, procedi con qualsiasi risolutore non lineare, lo schema a punti fissi è una buona scelta, perché non hai comunque giacobiano. Più facile da implementare e utilizzare, prestazioni più generali, ma forse inferiori, perché Jacobian non può essere sfruttato (è generalmente sconosciuto).

2) f (u) scomposto in serie (polinomiale, Fourier). Più difficile da implementare e utilizzare, può essere difficile / impossibile per alcuni speciali f. Ma in cambio puoi calcolare e sfruttare il giacobino in un metodo simile a Newton, che generalmente si tradurrà in prestazioni superiori.

— Dominik Lark
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f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Dovresti aggiungere u ^ n a f. Quindi hai una semplice forma polinomiale del termine di reazione che è meglio trattato con l'approccio 2).

— Dominik Lark,