Esiste un algoritmo multigrid che risolve i problemi di Neumann e ha un tasso di convergenza indipendente dal numero di livelli?

I metodi multigrid di solito risolvono i problemi di Dirichlet su livelli (es. Punto Jacobi o Gauss-Seidel). Quando si usano metodi continui ad elementi finiti, è molto meno costoso assemblare piccoli problemi di Neumann che assemblare piccoli problemi di Dirichlet. Metodi di decomposizione del dominio non sovrapposti come BDDC (come FETI-DP) possono essere interpretati come metodi multigrid che risolvono i problemi di Neumann "bloccati" a livelli. Sfortunatamente, il numero di condizione per BDDC multilivello viene ridimensionato come

C {(1 + \log (\frac{H}{h}))}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

dove è il numero di livelli e è il rapporto di ingrossamento. Al contrario, il numero di condizione per i metodi multigrid con smoothers basati su problemi di Dirichlet ha un numero di condizione indipendente dal numero di livelli. $L$ $H/h$

C'è un modo per risolvere i problemi di Neumann "bloccati" senza perdere l'indipendenza di livello?

pde multigrid

— Jed Brown
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Nota: questa è una domanda di ricerca aperta, pubblicata qui come una sfida perché è una preoccupazione pratica che sembra essere trascurata da molti degli analisti che lavorano in questo settore.

— Jed Brown,

È difficile dire quale sia esattamente l'equivalente del blocco "Pinned Neumann" in un contesto multigrid, almeno se ci si aspetta che assuma lo stesso ruolo che svolge nel contesto DD. Potresti approfondire qualche idea che potresti avere su ciò che sarebbe?

— Peter Brune,

Non sono sicuro di quanto sia diverso da BDDC e non sia analizzato in modo molto approfondito, ma questo sembrava interessante quando l'ho letto prima:

Un solutore di Poisson multigrid parallelo per la simulazione di fluidi su griglie di grandi dimensioni

— Celion
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Questo documento utilizza metodi a differenza finita, per i quali è naturale costruire problemi di Dirichlet locali. Usano un Jacobi smorzato più liscio (problemi di Dirichlet a punto singolo). È a memoria insufficiente (comune per questa classe di metodi) e utilizza un'interpolazione della griglia sfalsata (non tipica). Potrebbe essere un bel documento (non l'ho letto attentamente), ma non ha importanza per questa domanda.

— Jed Brown,