Esistono approcci di suddivisione dell'operatore per PDE multifisici che raggiungono una convergenza di ordine elevato?

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Data un'evoluzione PDE

u_{t} = UN u + B u

$u_t = Au + Bu$

dove sono operatori differenziali (possibilmente non lineari) che non commutano, un approccio numerico comune è quello di alternare tra la risoluzione $A,B$

u_{t} = UN u

$u_t = Au$

e

u_{t} = B u .

$u_t = Bu.$

L'implementazione più semplice di questo è nota come divisione di Godunov ed è accurata al 1 ° ordine. Un altro approccio ben noto, noto come divisione di Strang, è accurato del 2 ° ordine. Esistono metodi di suddivisione dell'operatore di ordine superiore (o approcci alternativi di discretizzazione multifisica)?

pde multiphysics operator-splitting

— David Ketcheson
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1

I termini sono rigidi o non rigidi? Hai una funzione che applica A e B o hai solo un algoritmo che fa avanzare lo stato da

a

? Nel caso in cui uno sia rigido e uno non rigido, ci sono molti metodi interessanti.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown,

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Ho capito che la formula di BCH era un modo sistematico per approssimare l'esponenziale di matrice di due matrici non commutative.

— Matt Knepley
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Ma questo non porta a termini complessi anche quando il PDE è reale? Le persone lo usano per una discretizzazione superiore al 2 ° ordine?

— David Ketcheson,

1

Non dalla mia memoria (o dalla pagina Web). Porta a molti commutatori. In molti corpi quantistici, ci sono modi piacevoli per semplificare queste espressioni.

— Matt Knepley,

7

Se consideri gli operatori generali A e B e se vuoi solo fare passi temporali positivi (che è quello che di solito richiedi quando risolvi problemi parabolici), c'è una barriera dell'ordine di 2, cioè usando qualsiasi tipo di scissione, non puoi ottenere un tasso di convergenza superiore a due. Una prova elementare è data in un recente articolo di S. Blanes e F. Casas, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

Tuttavia, ci sono diverse vie d'uscita se sai qualcosa in più sul tuo problema:

Supponiamo che tu possa risolvere le tue equazioni all'indietro nel tempo (cosa comune per, ad esempio, equazioni di Schrödinger), quindi ci sono molte divisioni disponibili, vedi il libro "Integrazione numerica geometrica" di Hairer, Lubich e Wanner.
Se i tuoi operatori generano semigruppi analitici, cioè puoi inserire valori complessi per t (tipico per equazioni paraboliche), è stato recentemente osservato che puoi ottenere divisioni di ordine superiore andando sul piano complesso. I primi articoli in quella direzione sono di E. Hansen e A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf , e F. Castella, P. Chartier , S. Descombes e G. Vilmart. La scelta di suddivisioni complesse che sono "ottimali" in un certo senso è un argomento della ricerca attuale, è possibile trovare diversi articoli sull'argomento su arxiv.

Riassumendo: se metti alcune ipotesi sul tuo problema, puoi ottenere qualcosa, ma in caso contrario, l'ordine 2 è il massimo.

PS .: Ho dovuto rimuovere il link a Castella et al-paper a causa della prevenzione dello spam, ma puoi trovarlo facilmente su google.

— Philipp Dörsek
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Il gruppo CCSE di LBNL ha recentemente utilizzato i metodi Spectral Deferred Correction (SDC) in un flusso a basso numero di mach con chimica complessa. Confrontano i risultati della DSC con la divisione di Strang e i risultati sono molto promettenti.

Ecco un documento di bozza con i dettagli: una strategia di accoppiamento con correzione differita per un flusso di numeri di mach basso con chimica complessa

Si noti che lo schema SDC è uno schema iterativo che converge in una soluzione di collocazione accurata di alto ordine, ma è costruito con i metodi del primo ordine.

— Matthew Emmett
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2

L'errore di scissione può, almeno in linea di principio, essere ridotto con metodi spettrali di correzione differita. Tuttavia, questa sembra essere un'area di ricerca attiva e non realmente qualcosa di pronto per l'uso generale.

— Brian
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2

Una nuova risorsa per schemi di suddivisione di alto ordine che ne elenca alcuni è disponibile qui:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— David Ketcheson
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