Come derivare la formulazione debole di un'equazione differenziale parziale per il metodo degli elementi finiti?

Ho preso un'introduzione di base al metodo degli elementi finiti, che non ha enfatizzato una comprensione sofisticata di una "formulazione debole". Capisco che con il metodo galerkin, moltiplichiamo entrambi i lati del PDE (ellittico) per una funzione di test e quindi integriamo (per parti o per teorema di divergenza). A volte, ho dovuto integrarmi per parti due volte prima di arrivare alla formulazione debole appropriata (basata sulla risposta in fondo al libro). Ma quando provo ad applicare lo stesso concetto ad altri PDE (diciamo, sono ancora indipendenti dal tempo), non riesco a riconoscere quando la formulazione è appropriata per la discretizzazione. Esiste una "bandiera rossa" che può dirmi che QUESTA FORMA può essere discretizzata in un sistema lineare di equazioni?

Inoltre, come posso scegliere un insieme appropriato di funzioni di base?

Chiediti quanto segue:

Innanzitutto, in che modo l'integrazione delle parti influisce sulla solvibilità del problema e sullo spazio delle soluzioni?

Secondo, per quale spazio di funzioni puoi costruire una serie di sottospazi (le funzioni di ansatz) che puoi implementare?

Consideriamo il problema di Poisson per f ∈ L 2 , diciamo, su [ 0 , 1 ] , con condizioni al contorno di Dirichlet omogenee. Per integrazione, il lato destro e sinistro dell'equazione possono essere considerati funzionali limitati su L 2 , diciamo per ϕ ∈ L 2 che abbiamo$u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

e φ ↦ ∫ f φ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Poiché qualsiasi funzione in può essere approssimata in L 2 da funzioni regolari con supporto compatto, entrambi i funzionali integrali sono completamente noti se si conoscono solo i valori di tutte le funzioni di test. Ma con le funzioni di test, è possibile eseguire l'integrazione per parti e trasformare il lato sinistro in funzionale$L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Leggi come: "Prendo una funzione di prova , ne calcolo il differenziale e lo integro con -u 'oltre [0,1], e ti restituisco il risultato." Ma quel funzionale non è definito e limitato a L 2 , dal momento che non puoi prendere il differenziale di una funzione L 2 arbitraria . Possono sembrare estremamente strani in generale.$\phi$$L^2$$L^2$

Tuttavia osserviamo che questa funzione può essere estesa allo spazio Sobolev , ed è persino una funzione limitata su H 1 0 . Ciò significa che, dato ϕ ∈ H 1 0 , è possibile stimare approssimativamente il valore di ∫ - u ′ ϕ ′ d x da un multiplo del normale H 1 0 di ϕ ′ . E, inoltre, il funzionale ϕ ↦ ∫ f ϕ d x è, ovviamente, non solo definito e limitato a L $H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$, ma anche definito e limitato a .$H_0^1$

Ora puoi, ad esempio, applicare il lemma Lax-Milgram, come è presentato in qualsiasi libro PDE. Un libro di elementi finiti che lo descrive anche, solo con analisi funzionale, è ad esempio il classico di Ciarlet o il piuttosto nuovo libro di Braess.

Il lemma di Lax-Milgram offre alle persone PDE uno strumento utile per la pura analisi, ma impiegano anche strumenti molto più strani per il loro scopo. Tuttavia, questi strumenti sono rilevanti anche per gli analisti numerici, poiché in effetti è possibile creare una discretizzazione per questi spazi.

$H_0^1$$d=1,2,3,...$

$H_0^1$

Nel caso di condizioni al contorno miste, lo spazio di test naturale può differire dal tuo spazio di ricerca (nell'impostazione analitica), ma non ho idea di come descriverlo senza fare riferimento alla teoria della distribuzione, quindi mi fermo qui. Spero che questo sia utile.