Confusione sul problema del rilevamento compresso


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Ho letto alcuni riferimenti tra cui questo .

Sono un po 'confuso su quale problema di ottimizzazione compresso costruisce e cerca di risolvere. È

minimizex1subject toAx=b

o / e

minimizex0subject toAx=b

o / e qualcos'altro?

Risposte:


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Brian è perfetto. Ma penso che sia utile aggiungere un contesto di rilevamento compresso.

Innanzitutto, nota che la cosiddetta norma 0 —la funzione cardinalità, o il numero di valori diversi da zero in xnonèuna norma. Probabilmente è meglio scriverlo come qualcosa di simile a una carta ( x ) in tutto tranne che nei contesti più casuali. Non fraintendetemi, siete in buona compagnia quando usate lascorciatoiax 0 , ma penso che tende a creare confusione.x0xcard(x)x0

Le persone sanno da molto tempo che ridurre al minimo la norma x 1 tende a produrre soluzioni sparse. Ci sono alcune ragioni teoriche per questo che hanno a che fare con la complementarità lineare. Ma ciò che era più interessante non era che le soluzioni fossero rare, ma che fossero spesso le più rare possibili . Cioè, minimizzare x 1 ti dà davvero la soluzione di cardinalità minima in alcuni casi utili. (Come sono riusciti a capirlo, quando il problema di cardinalità minima è NP-difficile? Costruendo problemi artificiali con soluzioni sparse conosciute.) Questo non era qualcosa che la teoria della complementarità lineare potesse prevedere.1x1x1

Il campo del rilevamento compresso è nato quando i ricercatori hanno iniziato a identificare le condizioni sulla matrice che avrebbero permesso loro di garantire in anticipo che la soluzione 1 fosse anche la più parsimoniosa. Vedi ad esempio i primi articoli di Candés, Romberg e Tao e altre discussioni sulla proprietà dell'isometria limitata o RIP . Un altro sito web utile se vuoi davvero immergerti in qualche teoria è la pagina di rilevamento compresso di Terence Tao .A1


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Ci piacerebbe essere in grado di risolvere

minx0

st

Ax=b

ma questo problema è un problema di ottimizzazione combinatoria NP-Hard che non è pratico da risolvere in pratica quando A , , e b sono di dimensioni tipiche nel rilevamento di compressione. È possibile risolvere in modo efficientexb

minx1

st

Ax=b

x1x0xAx=bx1

Ax=bAxb2δ

minAxb22+λx1


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minx0s.tAx=b
minx1s.t.Ax=b.
paradigma , che può essere affermato in modo molto approssimativo

È possibile identificare segnali sparsi da alcune misurazioni.

Compressed Sensing significa davvero prenderne meno misurazioni possibile per identificare un segnale in una determinata classe di segnali.

Una frase accattivante è:

Perché la tua fotocamera da 5 megapixel dovrebbe davvero misurare 15 milioni di valori (tre per ogni pixel) che ti costano 15 megabyte di dati quando memorizza solo circa 2 megabyte (dopo la compressione)?
Potrebbe essere possibile misurare subito i 2 megabyte?

Esistono quadri abbastanza diversi:

  • misure lineari
  • quelli non lineari (ad es. quelli "senza fase")
  • dati vettoriali, dati matrice / tensore
  • sparsità come solo il numero di non zeri
  • scarsità come "basso rango" o addirittura "bassa complessità").

E ci sono anche più metodi per calcolare soluzioni sparse come inseguimenti di corrispondenza (varianti come inseguimento di corrispondenza ortogonale (OMP), inseguimento di corrispondenza ortogonale regolarizzato (ROMP), CoSaMP) o metodi più recenti basati su algoritmi di passaggio di messaggi .

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Se uno, tuttavia, è interessato solo a ottenere soluzioni sparse ai sistemi lineari, fa qualcosa che definirei ricostruzione sparsa .


Grazie! Riesci a riformulare quanto segue nella formulazione matematica: "È possibile identificare segnali sparsi da alcune misurazioni. Il Sensing compresso consiste nel prendere il minor numero possibile di misurazioni per identificare un segnale in una certa classe di segnali".
Tim

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No, non posso, perché Compressed Sensing non è una teoria matematica ma piuttosto un concetto di ingegneria.
Dirk,

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Penso che questa risposta sia un buon contributo e ho votato a favore. Per quanto riguarda la frase accattivante, però, ho sempre avuto problemi con esso. Suggerisce che CS è così potente che potresti semplicemente buttare via 13 milioni di pixel e recuperare comunque l'immagine. Ma no, non dovresti mai buttare via i dati in modo casuale, anche in un sistema CS --- un buon algoritmo di recupero può sempre fare uso di più dati. La promessa di CS è il potenziale di sviluppare sensori che raccolgono meno dati in primo luogo in cambio di alcuni importanti risparmi pratici: risparmio energetico, raccolta più veloce, ecc.
Michael Grant

@MichaelGrant Sono d'accordo: non gettare i dati che hai già misurato e utilizzare la data che puoi misurare con il minimo sforzo.
Dirk,
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