Risolvere un sistema lineare con argomenti a matrice

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Conosciamo tutti i numerosi metodi computazionali per risolvere il sistema lineare standard

A x = b .

$Ax=b.$ Tuttavia, sono curioso di sapere se esistono metodi computazionali "standard" per risolvere un sistema lineare più generale (dimensione finita) della forma

L A = B,

$LA=B,$ dove, diciamo, è una matrice , è una e è un operatore lineare che porta matrici alle matrici , che non comporta la vettorializzazione le matrici , ovvero la conversione di tutto nella forma standard .

A

$A$

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$

B

$B$

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$

L

$L$

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$

A x = b

$Ax=b$

Il motivo che mi chiedo è che ho bisogno di risolvere la seguente equazione per : $u$

(R^{*} R + λ I) u = f

$(R^*R+\lambda I)u=f$ dove è la trasformata Radon 2d, suo adiacente, e sia che sono matrici 2d (immagini). È possibile vettorializzare questa equazione, ma è una seccatura, specialmente se si passa al 3D.

R

$R$

R^{*}

$R^*$

u

$u$

f

$f$

Più in generale, che dire delle matrici ? Ad esempio, risolvendo dove e sono array 3D (dovrò farlo anche con la trasformazione del Radon ad un certo punto). $nD$ $LA=B$ $A$ $B$

Grazie in anticipo e sentiti libero di spedirmi in un altro StackExchange se ne senti il bisogno.

linear-algebra

— icurays1
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Potresti essere in grado di costruire un precondizionatore multilivello efficace quindi utilizzare il gradiente coniugato. Ho un problema simile in cui questo è abbastanza efficace e molto parallelizzabile. Se desideri metodi diretti, prendi in considerazione riduzioni per ottenere la forma come in questo documento sull'equazione di Lyapunov: cs.cornell.edu/cv/ResearchPDF/Hessenberg.Schur.Method.pdf

— Nick Alger

Eccellente, grazie per il ref! Ho appena fatto lavorare CG in modo efficace, quindi sono felice.

— icurays1

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$\mathbb{R}^n$ $\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$

Una cosa che devi fare attenzione quando stai implementando CG (o simili approcci iterativi) con operatori lineari generali è implementare correttamente l' aggiunta del tuo operatore lineare. Cioè, le persone spesso ottengono giusto, ma fanno un errore nell'implementazione di . $y=F(x)$ $z=F^*(y)$

Consiglio di implementare un semplice test che sfrutti la seguente identità: per qualsiasi e conforme , Quindi, quello che fai è generare valori casuali di ed , eseguirli attraverso le operazioni a termine e adjoint, rispettivamente, e calcolare i due prodotti interni sopra. Assicurati che corrispondano con ragionevole precisione e ripeti alcune volte. $x$ $y$

⟨ y, F (x) ⟩ = ⟨ F^{*} (y), x ⟩ .

$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$

x

$x$

y

$y$

EDIT: cosa fai se il tuo operatore lineare dovrebbe essere simmetrico? Bene, devi anche verificare quella simmetria. Usa lo stesso test, basta notare che --- applicano la stessa operazione di ed . Ovviamente, l'OP ha sia un operatore asimmetrico che uno simmetrico per gestire ... $F=F^*$ $x$ $y$

— Michael Grant
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Grazie @ChristianClason! So per esperienza quanto possano essere frustranti gli errori nei calcoli aggiunti. :) Nel nostro pacchetto TFOCS abbiamo implementato una linop_test.mroutine per questo motivo. Tale pacchetto supporta anche matrici, matrici e prodotti cartesiani in spazi vettoriali.

— Michael Grant,

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A quanto pare, poiché il mio sistema è simmetrico e definito positivo (poiché il mio operatore lineare è scritto come ), il gradiente coniugato può essere adattato per risolvere questo tipo di equazione in modo iterativo. L'unica modifica arriva quando si calcolano i prodotti interni, ovvero un tipico calcolo del prodotto interno in CG sembra o . Nella versione modificata, utilizziamo il prodotto interno Frobenius, che può essere calcolato sommando le voci del prodotto Hadamard (in senso puntuale). ie $R^*R+\lambda I$ $r_k^Tr_k$ $p_k^TAp_k$

⟨ A, B ⟩ = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j}

$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$

Sospetto che questo andrà bene quando eseguirò l'aggiornamento a array 3D, anche se devo ancora vedere il prodotto interno Frobenius definito su array 3D (lavorerò sul presupposto che posso nuovamente sommare semplicemente il prodotto puntuale).

Sarei comunque interessato a metodi più generali se qualcuno ne fosse a conoscenza!

— icurays1
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