Ci sono vantaggi numerici nel risolvere la matrice simmetrica rispetto alle matrici senza simmetria?

Sto applicando il metodo della differenza finita a un sistema di 3 equazioni accoppiate. Due delle equazioni non sono accoppiate, tuttavia la terza equazione si accoppia ad entrambe le altre due. Ho notato che cambiando l'ordine delle equazioni, dire da a che la matrice dei coefficienti diventa simmetrica. $(x, y, z)$ $(x, z, y)$

C'è qualche vantaggio nel fare questo? Ad esempio, in termini di stabilità o efficienza / velocità della soluzione. Le matrici sono molto sparse, se ciò è importante, i termini diversi da zero sono lungo le diagonali centrali.

finite-difference symmetry

— boyfarrell
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Sì, ci vuole molto meno sforzo per risolvere un sistema simmetrico rispetto a un sistema asimmetrico. Se, inoltre, puoi mostrare che la tua matrice di coefficienti è definita positiva, allora sei in una buona posizione.

— JM,

Assolutamente!

Prima di tutto, alcuni sistemi di algebra lineare sono abbastanza intelligenti da memorizzare solo metà della matrice, questo potrebbe farti risparmiare un sacco di memoria. Ma anche se non fosse così, vari algoritmi nell'algebra lineare numerica sfrutteranno la simmetria.

Ad esempio, data una matrice simmetrica, qualsiasi eigensolver saprà immediatamente che tutti gli autovalori sono valutati in modo reale e che il metodo di soluzione può utilizzare tale fatto.

$Ax=b$

Un altro esempio è la fattorizzazione della tua matrice in una parte triangolare inferiore $A=LU$ $L$ $U$ $A$ $A=LL^T$

— Nico Schlömer
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"... e il metodo di soluzione può usare questo fatto, ad esempio, tagliando gli errori di arrotondamento nella parte immaginaria durante il calcolo." - più come l'ambiente informatico utilizza un metodo che sfrutta la simmetria e garantisce risultati reali.

— JM