Perché è difficile risolvere numericamente l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo multielettrone

Sembra che le persone usino solitamente l'approssimazione di un singolo elettrone attivo (SAE) per gestire un sistema multielettrone, trasformando il problema in un singolo problema elettronico. Ad esempio, nel risolvere numericamente il problema di un atomo di elio interagire con i campi laser, le persone di solito approssimative includono l'effetto elettrone-elettrone di uno pseudo-potenziale e essenzialmente risolvono il problema di un solo elettrone. Allora perché è difficile persino risolvere numericamente l'equazione di Schrödinger del multielettrone dipendente dal tempo? È molto difficile rispetto al classico problema dell'N-body? Ho visto che esiste un enorme problema di corpo classico risolto numericamente in astronomia anche in tempo reale, ad esempio qui simula in tempo reale una collisione di due galassie che coinvolgono 280000 particelle di interazione.$n$

Sì, è molto più difficile farlo. Per il problema del corpo , tutto ciò che devi calcolare sono le traiettorie x i ( t ) , i = 1 ... N che sono solo N funzioni di una singola variabile.$N$$\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$$N$

D'altra parte, anche per un singolo elettrone, la soluzione dell'equazione di Schroedinger è una funzione , cioè una funzione di quattro variabili. Per due elettroni, stai cercando una funzione Ψ ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 3 , t ) che descriva la funzione d'onda come una funzione delle posizioni dei due elettroni più il tempo. Sono sette variabili.$\Psi(x,y,z,t)$$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

Ora, se ricordi come risolvere le equazioni differenziali ordinarie come le equazioni di Newton per il problema del corpo , allora devi spostare ogni equazione in avanti facendo passare il tempo da t a t + Δ t e calcolare lì la soluzione. Quindi, se dividi il tuo intervallo di tempo [ 0 , T ] in intervalli M di lunghezza Δ t = T / M, lo sforzo per ogni fase sarà N 2 M usando un'implementazione ingenua delle interazioni degli N corpi (puoi usare metodi per raggiungere$N$$t$$t+\Delta t$$[0,T]$$M$$\Delta t=T/M$$N^2M$$N$ sforzo, ma questo è oltre il punto).$N (\log N) M$

D'altra parte, per trovare una funzione di 7 variabili, supponi di suddividere l'intervallo di tempo in sottointervalli come sopra, ma che fai anche lo stesso per le 6 coordinate spaziali. Quindi ci sono un totale di punti di griglia M 7 da considerare. E in generale, per un sistema quantistico del corpo N , hai M 3 N + 1 .$M$$M^7$$N$$M^{3N+1}$

$N,M$$M^{3N+1}$$N^2M$$N$