Pacchetti software simbolici per espressioni Matrix?

Sappiamo che è simmetrico e definito positivo. Sappiamo che è ortogonale:$\mathbf A$$\mathbf B$

Domanda: simmetrico e definito positivo? Risposta: Sì$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

Domanda: un computer potrebbe avercelo detto? Risposta: probabilmente.

Esistono sistemi simbolici di algebra (come Mathematica) che gestiscono e propagano fatti noti sulle matrici?

Modifica: per essere chiari, sto facendo questa domanda sulle matrici definite in modo astratto. Cioè non ho voci esplicite per e , so solo che sono entrambe matrici e hanno attributi particolari come simmetrici, positivi definiti, ecc.$A$$B$

Modifica: questo è ora in SymPy

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

Risposta precedente che mostra altri lavori

Quindi dopo aver esaminato questo per un po ', questo è quello che ho trovato.

La risposta attuale alla mia domanda specifica è "No, non esiste un sistema attuale in grado di rispondere a questa domanda". Vi sono tuttavia alcune cose che sembrano avvicinarsi.

In primo luogo, Matt Knepley e Lagerbaer hanno entrambi indicato di lavorare di Diego Fabregat e Paolo Bientinesi . Questo lavoro mostra sia la potenziale importanza che la fattibilità di questo problema. È una buona lettura Sfortunatamente non sono sicuro di come funzioni il suo sistema o di cosa sia capace (se qualcuno sa di altro materiale pubblico su questo argomento fammelo sapere).

In secondo luogo, esiste una libreria di algebra tensoriale scritta per Mathematica chiamata xAct che gestisce simmetrie e simbolicamente. Fa alcune cose molto bene, ma non è adattato al caso speciale dell'algebra lineare.

Terzo, queste regole sono scritte formalmente in un paio di librerie di Coq , un assistente dimostratore di teoremi automatizzato (Google cerca qualche algebra lineare / matrice di coq per trovarne alcune). Questo è un sistema potente che purtroppo sembra richiedere l'interazione umana.

Dopo aver parlato con alcune persone che dimostrano teoremi , suggeriscono di esaminare la programmazione logica (cioè Prolog, che anche Lagerbaer ha suggerito) per questo genere di cose. Per quanto ne so, questo non è ancora stato fatto - potrei giocarci in futuro.

Aggiornamento: l'ho implementato usando il sistema Maude . Il mio codice è ospitato su github

Alcuni calcoli con matrici simboliche (ad es. Completamento di matrici di blocchi) possono essere eseguiti con il pacchetto NCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/ (che funziona con matematica).

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/ è un pacchetto in Lisp con funzionalità simili.

Alcuni documenti pertinenti:
http://math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http: // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

Penso che la maggior parte dei CASsistemi sia in grado di dimostrarlo 2x2e per le 3x3matrici, dato un costrutto simbolico ortonormale , come le matrici di rotazione. Alla fine, dovrai scomporre il risultato per capire se è positivo o meno. La simmetria è più facile da mostrare.$\mathbf B$

La domanda diventa allora: che dire di una Nmatrice dimensionale? Forse puoi escogitare uno schema induttivo in cui N-1 x N-1si presume che sia vero e quindi costruire una nuova matrice di blocchi con dimensione complessiva N x Nper dimostrare che è positivo definito e simmetrico.

Quindi l'ultima domanda, su quale software sia più adatto all'attività (se presente), la mia esperienza è stata con MATLAB/MuPade Derive(ancora lo uso) e nessuno dei due gestisce molto bene vettori e matrici. MATLABsuddivide tutto in componenti e Derivepuò dichiarare Non-scalarsma non applica loro alcuna regola di semplificazione.

Spero che questo post fornirà ulteriori informazioni su questo tipo di "buco" e su come colmarlo. Per me, voglio un software che possa aiutarmi a semplificare le espressioni con più prodotti punto e croce di vettori, insieme alle matrici di rotazione usano identità ben note come:$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

È passato un po 'di tempo dall'ultima volta che ho usato uno di questi pacchetti, ma ho pensato che potevi farlo in lingue come Mathematica attraverso l'uso di asserzioni. Qualcosa come Assert [A, Symmetric] dice a Mathematica che A è una matrice simmetrica e così via. Non ho accesso a nessuno dei due al momento, quindi questo è qualcosa che dovrebbe essere verificato.

Maple 15 non può farlo. Non ha proprietà "ortogonali" per le matrici (sebbene abbia simmetrico e positivo definito).

In Mathematica puoi almeno controllare queste proprietà per matrici specifiche. Ad esempio, la matrice Acome hai descritto:

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

Per matrice B:

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

Poi:

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Documentazione sulle matrici Mathematica e l'algebra lineare