La "tecnica cofattore" per invertire una matrice ha qualche significato pratico?

Il titolo è la domanda. Questa tecnica prevede l'uso della "matrice di cofattori", o "matrice corrugata", e fornisce formule esplicite per i componenti dell'inverso di una matrice quadrata. Non è facile farlo a mano per una matrice più grande di, diciamo, . Per una matrice , richiede il calcolo del determinante della matrice stessa e il calcolo di determinanti delle matrici . Quindi suppongo che non sia utile per le applicazioni. Ma vorrei una conferma. $3\times 3$ $n\times n$ $n^2$ $(n-1)\times(n-1)$

Non sto chiedendo il significato teorico della tecnica nel dimostrare teoremi sulle matrici.

linear-algebra matrix complexity

— Stefan Smith
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Risposte:

Hai ragione: non ha assolutamente alcuna rilevanza pratica per l'informatica. Anche se il calcolo del determinante fosse un'operazione , la complessità del metodo sarebbe almeno e, di conseguenza, della stessa complessità dell'eliminazione gaussiana. In pratica, calcolare il determinante di una matrice è in realtà di complessità esponenziale, rendendo questo metodo completamente inutilizzabile. $O(n)$ $O(n^3)$

— Wolfgang Bangerth
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Due cose che voglio aggiungere: La complessità della Regola di Cramer (usando i determinanti per calcolare un inverso) è

Che è molto più grande dell'eliminazione gaussiana

. Inoltre, in generale, non si desidera calcolare un inverso a meno che non sia assolutamente necessario.

O (n!)

$O(n!)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— Paolo

OTOH, potrebbero esserci alcune circostanze in cui si potrebbe preferire l'espansione di Laplace, ad esempio matrici fasciate. Ma in effetti, in generale, l'espansione di Laplace ha complessità

O (n!)

$O(n!)$

— JM,

@Stefan, sì, l'eliminazione gaussiana può essere utilizzata per calcolare i determinanti. Poiché

e l'eliminazione gaussiana producono fattori (triangolari) i cui determinanti sono facilmente calcolabili, ci vorrà davvero uno sforzo

det (A B) = det (A) det (B)

$\det(\mathbf A\mathbf B)=\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— JM,

Sì, hai ragione: il determinante può essere calcolato al costo di una decomposizione

(Il modo ingenuo mostrato nei libri di testo usando l'espansione ricorsiva è esponenziale in

- la complessità

Menzionata da Paolo). Ma ciò produce ancora una complessità complessiva di

per l'algoritmo proposto - molto più dell'eliminazione gaussiana, se si dovesse usarlo, e persino più dei solutori iterativi.

L U

$LU$

n

$n$

n!

$n!$

O (n^{5})

$O(n^5)$

— Wolfgang Bangerth,

Corretta. La riduzione delle righe rappresenta la metà del calcolo della decomposizione

Riduce il fattore

al fattore

L'altra metà del lavoro sta facendo le stesse operazioni a partire dalla matrice identità, producendo la matrice

È vero che puoi evitare quest'ultimo se tutto ciò che ti interessa è il determinante.

L U

$LU$

A

$A$

U

$U$

L

$L$

— Wolfgang Bangerth,

Sto andando contro la folla: la matrice ad ago è in effetti molto utile per alcune applicazioni speciali con dimensionalità ridotta (come quattro o meno), in particolare quando hai bisogno dell'inverso di una matrice ma non ti preoccupi della scala.

Due esempi includono il calcolo di un'omografia inversa e l' iterazione del quoziente di Rayleigh per problemi molto piccoli (che oltre ad essere semplificato dall'uso dell'aggregato è numericamente migliore).

— nonbasketless
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Sono pienamente d'accordo, ci sono alcuni casi (in generale con piccole matrici) in cui aiuta molto! (ad esempio, per calcolare le coordinate baricentriche in un piccolo simplex)

— BrunoLevy