Quali sono i principi di base alla base della generazione di una mesh mobile?

Sono interessato all'implementazione di una mesh mobile per un problema di diffusione dell'avviso. I metodi di mesh mobile adattiva forniscono un buon esempio di come eseguire questa operazione per l'equazione di Burger in 1D usando la differenza finita. Qualcuno sarebbe in grado di offrire un esempio funzionante sulla risoluzione dell'equazione 1D di avvezione-diffusione usando la differenza finita con una mesh mobile?

Ad esempio, in forma conservativa l'equazione è,

dove è la velocità (una funzione dello spazio). Le condizioni iniziali u ( 0 , x ) potrebbero specificare (ad esempio) una specie di flusso che si sposta da sinistra a destra (ad esempio lungo una tubazione) in cui la condizione iniziale ha un gradiente nitido.$a(x)$$u(0,x)$

Come dovrebbe essere risolto il problema dell'equidistribuzione della mesh mobile (possibilmente con l'algoritmo di De Boor o un altro approccio)? Vorrei implementarlo da solo in Python, quindi se la tua risposta può essere prontamente tradotta in codice, tanto meglio!

Vecchia domanda prima della taglia

1. Quali sono gli approcci di base per generare una mesh adattiva basata sulle proprietà del sistema? Dovrei usare il flusso come misura di dove i gradienti sono grandi?
2. Perché cerco una soluzione iterativa (time sweep). Immagino sia importante interpolare dalla vecchia griglia alla nuova griglia, qual è il solito approccio?
3. Sarei davvero interessato a vedere un esempio funzionante per un problema semplice (come l'equazione di avanzamento).

Un po 'di retroscena sulle specifiche del problema. Sto simulando un sistema di equazioni accoppiato 1D,

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

L'insieme di equazioni descrive un problema di diffusione dell'avvezione di due specie in cui la terza equazione si accoppia alle altre due. La soluzione cambia rapidamente vicino al centro della mia griglia, vedi sotto (queste sono illustrazioni non calcoli),

Si noti che scala logaritmica sul grafico in basso, le soluzioni per e v varia nel ordini di grandezza. Sul grafico superiore ( w ) c'è una discontinuità al centro. Sto risolvendo il sistema di cui sopra con un controvento adattivo in cui la discretizzazione può adattarsi da centrale a controvento dominato a seconda del valore locale del numero di Péclet . Sto risolvendo implicitamente il sistema con l'integrazione trapezoidale nel tempo ("Crank-Nicolson").$u$$v$$w$

$w$

$u$$v$$w$

Una griglia adattativa è una rete griglia che raggruppa automaticamente i punti della griglia in regioni con gradienti di campo a flusso elevato; utilizza la soluzione delle proprietà del campo di flusso per individuare i punti della griglia nel piano fisico. La griglia adattativa si evolve in intervalli di tempo insieme a una soluzione dipendente dal tempo delle equazioni del campo di flusso governativo, che calcola le variabili del campo di flusso in intervalli di tempo. Nel corso della soluzione, i punti della griglia sul piano fisico si muovono in modo tale da "adattarsi" per le regioni con grandi gradienti del campo di flusso. Pertanto, i punti della griglia effettivi sul piano fisico sono costantemente in movimento durante la soluzione del campo di flusso e diventano stazionari solo quando la soluzione di flusso si avvicina a uno stato stazionario.

L'adattamento alla griglia viene utilizzato per problemi di tipo costante e instabile. In caso di problemi di flusso costante, la griglia viene adattata dopo un numero predeterminato di iterazioni e l'adattamento della griglia si interromperà nel momento in cui la soluzione viene convergente. In caso di soluzioni accurate nel tempo, il movimento e il perfezionamento del punto della griglia vengono eseguiti insieme alla soluzione accurata del problema fisico nel tempo. Ciò richiede un accoppiamento accurato nel tempo dei PDE del problema fisico e di quelli che descrivono il movimento o l'adattamento della griglia.

Per i calcoli delle nuove configurazioni, la dipendenza dalle linee guida sulle migliori pratiche per la generazione di mesh e l'esperienza precedente lascia aperta la porta a grandi quantità di errori numerici. I metodi di adattamento alla griglia possono produrre sostanziali miglioramenti nella qualità della soluzione e promettono risultati migliori perché non esistono limitazioni che definiscono il limite di risoluzione della griglia che può essere raggiunto.

$h$$r$$p$$rp$$hp$$r$$h$

$h$

$h$

$r$

Invece di apportare modifiche topologiche locali alla mesh e alla sua connettività, i metodi r-adattivi apportano modifiche locali alla risoluzione spostando le posizioni di un numero totale fisso di punti mesh.

$p$

Metodo molto popolare di adattamento della griglia nell'approccio agli elementi finiti piuttosto che nel metodo del volume finito o degli elementi finiti. Riduce l'errore nella soluzione arricchendo il polinomio delle funzioni di interpolazione con lo stesso ordine di elementi geometrici. Nessuna nuova maglia, geometria da calcolare e un altro vantaggio di questo metodo è che può meglio approssimare i confini irregolari o curvi con meno sensibilità proporzioni e inclinazione. Per questo motivo è molto famoso nell'applicazione strutturale.

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ L'approccio basato sull'approssimazione largamente utilizzato in base alle funzionalità utilizza la funzionalità della soluzione come forza trainante per l'adattamento della griglia. Questi spesso utilizzano funzionalità della soluzione come gradienti della soluzione e curvatura della soluzione. Le regioni di flusso con gradienti di soluzione elevati vengono risolte con un numero maggiore di punti e le regioni di importanza minima vengono ingrandite. Ciò porta a un perfezionamento della regione fisicamente specifico come strato limite, shock, linee di separazione, punti di ristagno, ecc. In alcuni casi, il perfezionamento basato sul gradiente può effettivamente aumentare l'errore della soluzione, quindi ci sono alcuni problemi relativi all'adattamento basato su funzionalità come robustezza e altri.

$2.Truncation-error-based-adaption$ L'errore di troncamento è la differenza tra l'equazione differenziale parziale e la sua equazione discretizzata. L'errore di troncamento è l'approccio più adatto per trovare dove dovrebbe avvenire l'adattamento. Il concetto generale alla base dell'adattamento basato sull'errore di troncamento è quello di equidistribuire l'errore sul dominio di simulazione per ridurre l'errore di discretizzazione totale. Per equazioni semplici la valutazione dell'errore di troncamento è il lavoro più semplice, ma per schemi complessi è necessario un approccio così difficile e diverso a tale scopo. Per schemi di discretizzazione semplici, l'errore di troncamento può essere calcolato direttamente. Per schemi più complessi in cui la valutazione diretta del troncamento è difficile, è necessario un approccio per stimare l'errore di troncamento.

$3.Adjoint-based-adaptation$ Il prossimo approccio promettente è l'approccio aggiunto. È ottimo per stimare il contributo locale di ogni cella o elemento all'errore di discretizzazione in qualsiasi soluzione funzionale di interesse come sollevamento, trascinamento e momenti. Pertanto è utile nell'adattamento mirato della griglia in base ai requisiti della soluzione, pertanto viene anche definito adattamento orientato agli obiettivi.

Ti auguro il meglio!

$References:-$

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Stavo (ancora) cercando buone risposte per questo. Lavoro con griglie adattive multilivello in cui utilizzo una sorta di criterio per la raffinatezza. Le persone che fanno FEM godono, piuttosto a buon mercato (dal punto di vista computazionale), di errori rigorosi stimati che usano come criterio di raffinamento. Per noi facendo FDM / FVM, non ho avuto fortuna a trovare tali stime.

In questo contesto, se si vuole essere rigorosi riguardo alla raffinatezza, ovvero raffinare in base a una stima dell'errore reale, la vostra (quasi) unica scelta è Richardson Extrapolation. Questo è, ad esempio, ciò che è stato utilizzato da Berger e Oliger (1984) per il loro risolutore iperbolico AMR strutturato in blocchi. La metodologia è generale, nel senso che è possibile utilizzare Richardson Extrapolation praticamente per qualsiasi problema. L'unico problema è che è costoso, soprattutto per problemi transitori.

A parte Richardson Extrapolation, tutti gli altri criteri (secondo la mia modesta opinione) sono solo ad hoc. Sì, puoi impostare una determinata soglia su una "quantità di interesse" e perfezionarla in base a ciò. È possibile utilizzare flussi o derivati ​​di una certa quantità per avvertire un gradiente di grandi dimensioni e utilizzarlo. Oppure, se stai monitorando un'interfaccia, puoi perfezionarla in base a quanto sei vicino all'interfaccia. Tutti questi sono molto economici, ovviamente, ma non c'è nulla di rigoroso in loro.

Per quanto riguarda l'interpolazione tra le griglie, in genere è necessario qualcosa di almeno accurato come il solutore. A volte è possibile costruire interpolazioni che soddisfano determinate proprietà, ad esempio conservare la massa o sono convesse, quindi non introdurre nuovi estremi. Ho notato che quest'ultima proprietà è talvolta molto importante per la stabilità dell'intero schema.

Se è effettivamente 1D, probabilmente non avrai bisogno di alcuna mesh adattativa qui, per un problema così semplice puoi probabilmente risolvere tutto ciò che ti serve con una griglia statica, con una potenza di calcolo di una moderna workstation. Ma è una strategia perfettamente ragionevole, nel processo di integrazione temporale, identificare periodicamente le aree in cui viene sottolineata la risoluzione numerica, aggiungere lì punti di griglia (e rimuovere punti di griglia da aree troppo risolte) e interpolare alla nuova griglia. Ma ciò non dovrebbe essere fatto troppo frequentemente perché l'interpolazione può essere costosa e aggiungerebbe un errore numerico nel calcolo complessivo.