In che modo i problemi di triangolazione di Voronoi Tesselation e Delaunay sono reciproci?

Mi è sempre stato detto che il diagramma di Voronoi è il doppio del problema della triangolazione di Delaunay. In che senso possono essere duali l'uno dell'altro? Ho pensato che i doppi problemi (cioè nella programmazione lineare) dovrebbero produrre la stessa risposta. Chiaramente, i due problemi non hanno la stessa soluzione. Come possiamo considerarli doppi?

La semplice risposta è che sono duali perché per ogni triangolazione delaunay esiste una sola tessellazione voronoi corrispondente e viceversa. Questo è vero per la maggior parte dei casi, ma ci sono casi in cui la corrispondenza non è una a una. Ad esempio nel caso in cui la tessellazione voronoi sia una griglia quadrata regolare.

Sia la tassellazione dei voronoi che la triangolazione delaunay non sono banali da calcolare per un determinato insieme di punti. Ma una volta che hai trovato l'altro è facile da trovare.

$P$

$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

Data la triangolazione delaunay, è sufficiente collegare i centri di circonferenza dei triangoli vicini.

$P$$P$

Giusto per illustrare ciò che dicono gli altri: il blu sotto è il diagramma Voronoi, il rosso la doppia triangolazione Delaunay. Sono duali tra loro come grafici piani geometrici. Dal diagramma Voronoi è banale derivare la triangolazione di Delaunay. La direzione inversa non è così ovvia, ma rimane vero che dalla triangolazione di Delaunay e da alcuni calcoli è possibile calcolare il diagramma di Voronoi.
          
Ho calcolato questi diagrammi per 50 punti casuali in Mathematica usando il pacchetto ComputationalGeometry . Vedi questo link per il mio codice.

${\bf P}$${\bf G}$$G_i$$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

In un certo senso, questo è simile alla dualità esistente tra reticoli triangolari ed esagonali nella fisica statistica. I punti medi delle cellule in un reticolo triangolare equilatero, quando collegati formano un reticolo esagonale, e viceversa .

Tuttavia, va sottolineato che non tutte le tessellazioni Voronoi sono doppie delle triangolazioni di Delaunay; questa relazione è probabilmente valida solo per tessellazioni Voronoi non ponderate . Per i metodi di tassellatura ponderata, in cui viene utilizzato qualcosa di diverso dalla distanza euclidea per determinare i bordi, la corrispondenza si interrompe.

Per approfondire il commento di Geoff: la triangolazione di Delaunay e i diagrammi di Voronoi sono "oggetti" anziché "problemi". Quindi, parlare di "soluzioni" è un po 'fuori.

La dualità è tra tassellazioni e triangolazioni: per spostarsi dalla triangolazione alla tassellatura, si forma l'insieme di Voronoi dei vertici della triangolazione. Per passare dalla tassellatura di Voronoi alla triangolazione di Delaunay, si collegano i "punti medi" di due celle se si toccano.

I grafici di Voronoi e Delaunay sono chiamati doppi per le loro proprietà grafiche. Vedi Dual Graph su Wikipedia.