Quali sono le differenze tra Parareal, PITA e PFASST?

Gli algoritmi Parareal, PITA e PFASST sono tutte tecniche trasversali al dominio per parallelizzare la soluzione di problemi dipendenti dal tempo nel tempo.

1. Quali sono i principi guida alla base di questi metodi?

2. Quali sono le principali differenze tra loro?

3. Posso dire che uno si basa su un altro? Come?

4. E le loro applicazioni?

So che non ci sarà alcuna risposta alla domanda "che è meglio?", Ma una buona comprensione delle aree di applicazione e delle condizioni di convalida mi è di aiuto.

$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

$t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$$F$

$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

Il metodo PITA è molto simile a Parareal, ma tiene traccia degli aggiornamenti precedenti e aggiorna solo la condizione iniziale su ciascun processore in un modo che ricorda i metodi del sottospazio di Krylov. Ciò consente a PITA di risolvere equazioni lineari del secondo ordine che Parareal non può.

Il metodo PFASST differisce dai metodi Parareal e PITA in due modi fondamentali: in primo luogo, si basa sullo schema iterativo di correzione temporale differita (SDC) iterativo, e in secondo luogo incorpora le correzioni dello schema di approssimazione completa al propagatore grossolano e, di fatto, PFASST può usare una gerarchia di propagatori (anziché solo due). L'uso della SDC consente di ibridare le iterazioni parallele nel tempo e SDC, il che allenta i limiti di efficienza di Parareal e PITA. L'uso delle correzioni FAS consente molta flessibilità nella costruzione dei propagatori grossolani di PFASST (rendere i propagatori grossolani il più economici possibile aiuta ad aumentare l'efficienza parallela). Le strategie di ingrossamento comprendono: ingrossamento del tempo (meno nodi SDC), ingrandimento dello spazio (per PDE basati su griglia), ingrossamento dell'operatore e fisica ridotta.

Spero che questo delinea i fondamenti, le differenze e le somiglianze tra gli algoritmi. Si prega di consultare i riferimenti in questo post per maggiori dettagli.

Per quanto riguarda le applicazioni, i metodi sono stati applicati a un'ampia varietà di equazioni (orbite planetarie, Navier-Stokes, sistemi di particelle, sistemi caotici, dinamica strutturale, flussi atmosferici ecc. Ecc.). Quando si applica la parallelizzazione temporale a un determinato problema, è necessario convalidare il metodo in modo appropriato per il problema da risolvere.