Qual è lo scopo di utilizzare l'integrazione per parti nel derivare una forma debole per la discretizzazione FEM?

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Quando si passa dalla forma forte di una PDE alla forma FEM sembra che si debba sempre farlo affermando prima la forma variazionale. Per fare questo moltiplichi la forma forte per un elemento in un certo spazio (Sobolev) e ti integri nella tua regione. Questo lo posso accettare. Quello che non capisco è perché si debba anche usare la formula di Green (una o più volte).

Ho lavorato principalmente con l'equazione di Poisson, quindi se prendiamo questo (con condizioni al contorno di Dirichlet omogenee) come esempio, cioè

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

quindi si afferma che il modo corretto di formare la forma variazionale è

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Ma cosa mi impedisce di usare l'espressione sulla prima riga, non è anche quella una forma variazionale che può essere usata per ottenere un modulo FEM? Non corrisponde alle forme bilineari e lineari el ? Il problema qui è che se uso le funzioni di base lineare (funzioni di forma), allora sarò nei guai perché la mia matrice di rigidezza sarà la matrice nulla (non invertibile)? Ma cosa succede se utilizzo funzioni di forma non lineare? Devo ancora usare la formula di Green? Se non devo: è consigliabile? In caso contrario, ho una formulazione variazionale ma non debole? $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ $l(v)=(f, v)$

Ora, diciamo che ho un PDE con derivati di ordine superiore, significa che ci sono molte possibili forme variazionali, a seconda di come uso la formula di Green? E tutti portano a (diverse) approssimazioni FEM?

pde finite-element elliptic-pde

— cristiano
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— Paul

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Risposta breve:

No, non è necessario eseguire l'integrazione per determinati FEM. Ma nel tuo caso, devi farlo.

Risposta lunga:

Diciamo che è la soluzione agli elementi finiti. Se scegli il polinomio lineare a tratti come base, quindi prendere su di esso ti darà una distribuzione dell'ordine 1 (pensa prendendo la derivata su una funzione di passaggio di Heaviside) e l'integrazione di la moltiplicazione con avrà senso solo se la prendi come coppia dualistica anziché come prodotto interno . Non otterrai una matrice nulla, il teorema di rappresentazione di Riesz dice che esiste un elemento in grado di caratterizzare la coppia di dualità dal prodotto interno in : $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ L'integrazione di parti elemento per elemento per farà luce su questa coppia di dualità: per un elemento in questa triangolazione questo ti dice che dovrebbe includere inter-element salto di flusso nella sua rappresentazione della coppia di dualità, si noti che l'integrazione sul confine di ciascun elemento è anche una coppia di dualità tra e $u_h$ $T$ $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ . Anche se usi una base quadratica, che ha un non-evanescente su ogni elemento, non puoi ancora scrivere come prodotto interno, a causa della presenza di questo salto di flusso tra elementi. $\Delta$ $(\Delta u, v)$
L'integrazione per parti può essere fatta risalire alla teoria di Sobolev per pde ellittico usando la funzione smooth, dove gli spazi sono tutti chiusura di funzioni smooth sotto il tipo di norma integrale . Quindi le persone dicono qual è la regolarità minima qui che possiamo eseguire il prodotto interno. Tenendo anche presente che una soluzione debole regolare in determinate condizioni è la soluzione forte (regolarità ellittica). Ma il polinomio lineare continuo a tratti non è , da questo punto di vista, non ha alcun senso prendere anche il prodotto interno usando . $W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
Per alcuni FEM, non è necessario eseguire l'integrazione per parti. Ad esempio, elemento finito Least-square. Scrivi il secondo ordine pde come sistema del primo ordine: Quindi vuoi minimizzare la funzione del minimo quadrato: porta lo stesso spirito con Ritz-Galerkin funzionale, la formulazione agli elementi finiti di minimizzare sopra funzionale in un lo spazio degli elementi finiti non richiede l'integrazione per parti.
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— Shuhao Cao
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Nulla ti impedisce di farlo tecnicamente, ma quando ti integri per parti ottieni una maggiore flessibilità con lo spazio della soluzione in quanto non hanno bisogno della regolarità (richiesto per la formulazione non IBP). Gli elementi lineari che suggerisci generalmente hanno una continuità forzata tra gli elementi e quindi non possono essere in . La formulazione IBP è inoltre simmetrica, che presenta anche alcuni dei suoi vantaggi. $H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
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Stai dicendo che le funzioni di forma lineare danno una soluzione alla formulazione FEM che non si trova in perché differenziando questa soluzione FEM due volte (debolmente) si ottiene una somma di distribuzioni delta, che non è in ? Questo significa che per PDE: S di ordine superiore a 2 mi devo usare funzioni di forma di ordine superiore a 1 (almeno se gli spazi di test e di prova dovrebbe essere lo stesso?)?

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— Christian,

1

Quello che stai dicendo è essenzialmente giusto. Per quanto riguarda le PDE superiori al secondo ordine, non è necessario utilizzare spazi di regolarità più elevati, poiché scrivere la formulazione mista (vedere la risposta di Shuhao) può essere d'aiuto. Puoi anche usare altre tecniche come la penalizzazione dei salti per evitare questa difficoltà. Per una risposta FEM classica, sì, avresti bisogno di una maggiore regolarità.

— Reid.Atcheson,

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Vorrei sottolineare l'importanza della simmetria. Se un operatore differenziale è autoaggiunto, mi aspetto di finire con una matrice simmetrica. Senza l'integrazione per parti questo non sarà il caso.

— Stefano M,

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I benefici computazionali sono stati il mio pensiero principale nell'aggiungerlo, ma ci sono anche forti vantaggi teorici della simmetria (a parte prove più semplici di fatti che probabilmente valgono ancora nel caso ellittico, anche se la discretizzazione è asimmetrica)?

— Reid.Atcheson,

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Ottime risposte già in questa pagina, ma c'è ancora un (piccolo) punto mancante.

L'OP ha chiesto:

Ora, diciamo che ho un PDE con derivati di ordine superiore, significa che ci sono molte possibili forme variazionali, a seconda di come uso la formula di Green? E tutti portano a (diverse) approssimazioni FEM?

L'integrazione per parti (nel modo corretto ) è importante quando si hanno condizioni al contorno di tipo Neumann. In effetti è per il fatto che prendi in considerazione Neumann bc nella tua formulazione variazionale. La forma del Neumann bc dipende da come si integra per parti, cfr. questa risposta sull'integrazione per parti in elasticità lineare. Quindi, anche per le PDE ellittiche di secondo ordine, l'integrazione per parti deve essere eseguita in un determinato modo, al fine di recuperare una formulazione variazionale valida per Neumann o condizioni al contorno miste. (E questo ovviamente indipendentemente dal fatto che tu discretizzi da FEM).

Nella fisica matematica, dove Neumann bc ha un significato ben definito (flusso di calore, stress ...), l'integrazione per parti è importante al fine di mantenere la corretta interpretazione dei risultati. Anche per condizioni di Dirichlet omogenee e FEM questo è vero, poiché se usiamo un metodo moltiplicatore di Lagrange per imporre i bc, i moltiplicatori diventano quantità fisiche, come flussi o forze concentrati.

— Stefano M
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