Calcola

La funzione ha singolarità vicino a x = 0 . Quella singolarità può essere sollevata, però: per x = 1 , si dovrebbe avere f ( x ) = 1 , poiché e x = ∑ k = 0 x $f \colon x \mapsto (e^x-1)/x$$x = 0$$x = 1$$f(x) = 1$ e quindi (ex-1)/x=∑k=1x k -

$$e^x = \sum_{k=0} \frac{x^k}{k!}$$ Tuttavia, la forma(ex-1)/xnon solo non è definita inx=0, ma è anche numericamente instabile in prossimità di quel punto; per valutaref(x)per molto piccoloxnumericamente, può essere utilizzato uno sviluppo di Taylor, cioè un troncamento della serie di potenze citato. $$(e^x - 1)/x = \sum_{k=1} \frac{x^{k-1}}{k!}$$ $(e^x-1)/x$$x = 0$$f(x)$$x$

D : La funzione ha un nome? In altre parole, è un problema comune?$f$

D : Qualcuno è a conoscenza di una libreria C / C ++ che gestisce bene questa situazione, cioè usa l'espansione di Taylor di un grado appropriato vicino a 0 e l'altra rappresentazione a partire da zero?

Forse si potrebbe iniziare con la funzione che fa parte dello standard C99 e calcola e x - 1 con precisione vicino a x = 0 .$\mathtt{expm1}$$e^x-1$$x=0$

Questa è un'istanza di errore di annullamento. La libreria standard C (a partire da C99) include una funzione chiamata expm1che evita questo problema. Se si utilizza expm1(x) / xinvece di (exp(x) - 1.0) / x, non si verificherà questo problema (vedere il grafico seguente).

I dettagli e la soluzione di questo particolare problema sono discussi a lungo nella Sezione 1.14.1 di Precisione e stabilità degli algoritmi numerici . La stessa soluzione è spiegata anche a pagina 19 del documento di W. Kahan intitolato Quanto sono futili le valutazioni senza cervello di arrotondamento nel calcolo in virgola mobile? . L'implementazione effettiva expm1nella libreria GNU C è diversa dall'approccio descritto nei riferimenti sopra ed è ampiamente documentata nel codice sorgente .

Per rispondere alla tua prima domanda, no, la funzione non ha un nome (almeno non uno che è ampiamente noto).

Come altri hanno già detto, il modo migliore per calcolare la funzione è trattare diversi casi speciali. Ecco come qualsiasi libreria calcolerebbe la funzione.

1. Caso 0: x = 0, ritorno 1.
2. $|x|<\delta$$1+x/2$$\delta$double2e-85e-4
3. Caso diverso: ritorno expm1(x)/x.

Puoi essere più sofisticato e caso speciale più cose con le serie troncate di Taylor, ma probabilmente non ne vale la pena. In effetti, non è del tutto chiaro che il caso 1 debba essere gestito separatamente, poiché, come sottolineato da k20, la cancellazione è sicura. Tuttavia, gestirlo separatamente mi farebbe sentire più sicuro.

Ricordo che questa domanda era stata posta in precedenza su questo sito e, sorprendentemente, la risposta è che devi solo correggere l'uguaglianza di casi speciali a zero. Gli errori si annullano vicino allo zero. Non ho il link.

Sì, questa risposta era completamente sbagliata. Non sono sicuro del motivo per cui è stato votato così tanto, probabilmente perché è stato dichiarato in modo autorevole. Ho trovato il link che avevo in mente. Qui si trovava nello scambio di matematica , non nello scambio di scicomp. La expm1formula di annullamento dell'errore -free viene fornita nella risposta da JM e utilizza una u = exp(x)trasformazione.

Per rispondere alla prima domanda e fornire un metodo (probabilmente numericamente inefficiente) per la seconda, nota che questa è l'inverso della funzione generatrice dei numeri di Bernoulli .