Meccanica solida con differenze finite: come gestire i "nodi d'angolo"?

Ho una domanda relativa alla codifica delle condizioni al contorno per la meccanica solida (elasticità lineare). Nel caso speciale devo usare differenze finite (3D). Sono molto nuovo su questo argomento, quindi forse alcune delle seguenti domande potrebbero essere molto basilari.

Per portare al mio problema specifico, prima di tutto voglio mostrare ciò che ho già implementato (per chiarire, userò solo il 2D).

1.) Ho la seguente discretizzazione di $div(\sigma) = 0$ , che mostra il primo componente della divergenza $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

Uso una griglia non sfalsata, quindi Ux e Uy sono definiti nello stesso posto.

2.) Il passo successivo è stato quello di trattare i confini, dove uso "nodi fantasma". Secondo $\sigma \bullet n = t^*$ , dove $t^*$ è lo stress sul confine.

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Penso che fino ad ora tutti i miei passi sembrano essere logici, in caso contrario, per favore correggimi . Ma ora ci sono anche i "nodi d'angolo", dove non ho idea di come gestirli.

$div(\sigma) = 0$

Quindi la mia domanda è qual è il modo corretto di gestire questi "nodi d'angolo"? Sono felice per ogni idea.

Ho avuto problemi simili con le condizioni al contorno dell'angolo, in particolare nella risoluzione dei problemi della placca strutturale con una pressione trasversale uniformemente applicata. In particolare se si sta cercando di ottenere i carichi di taglio sui bordi (compresi gli angoli). I carichi di taglio sono una funzione di ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. Usando uno schema di differenza centrale, questo ha bisogno del nodo "fantasma" che è diagonale al nodo d'angolo per determinare questa derivata. Non credo che la media basata su nodi adiacenti sia appropriata. Quello che ho fatto è stato usare il momento torcente Mxy che ho calcolato nel nodo d'angolo e lo ha equiparato alla "molecola" della differenza finita per il momento torcente in funzione degli spostamenti. Dato che conoscevo già gli spostamenti di tutti gli altri nodi adiacenti (in base alle condizioni al contorno lungo i bordi della piastra), era una questione semplice da risolvere per questo nodo angolare "complicato". Spero che questo aiuti.

Potresti provare a risolvere un sistema di equazioni che non ha una soluzione unica. Immagina di avere un mucchio di nodi collegati da molle che fluttuano nello spazio e che vuoi trovare la posizione di equilibrio di ciascun nodo. Se il sistema non è ancorato a qualcosa di fisso (o non viene applicata alcuna forza), ci sono molte possibili soluzioni. Ogni soluzione può sempre essere tradotta o ruotata ed è ancora una soluzione. Hai provato a correggere gli spostamenti in un nodo d'angolo per eliminare la traslazione e correggere uno spostamento in un altro angolo per eliminare le rotazioni?

Una volta ho provato questo approccio per fissare alcuni nodi e regolare forze normali su altri, ma sembrava focalizzare grandi quantità di forza su singoli nodi di confine, risultando in instabilità. Ciò che ha funzionato alla fine non è stato quello di provare ad ancorare solo alcuni nodi, ma a ancorare tutti i nodi rispetto a uno sforzo omogeneo. Essenzialmente si tende in modo omogeneo l'intero sistema, ma poi si include il componente omogeneo nella definizione locale di deformazione su ciascun nodo, in modo che non contribuisca con ulteriore energia elastica. Puoi leggere di più al riguardo in questo documento e nei riferimenti citati: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Questo problema di instabilità è probabilmente una buona ragione per scegliere elementi finiti per problemi di meccanica quando possibile.