Calcolo di serie leggermente oscillatorie ad alta precisione?

Supponiamo che io abbia la seguente funzione interessante:

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$ Ha alcune proprietà spiacevoli, come il suo derivato che non è continuo a multipli razionali di

π

$\pi$ . Sospetto che non esista un modulo chiuso.

Posso calcolarlo calcolando somme parziali e usando l'estrapolazione di Richardson, ma il problema è che è troppo lento per calcolare la funzione su un buon numero di cifre decimali (100 sarebbe bello, per esempio).

Esiste un metodo in grado di gestire meglio questa funzione?

Ecco una trama di con alcuni artefatti: $f'(\pi x)$

$Derivata della funzione, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— Kirill
fonte

Forse puoi usare il fatto che

, dove

è un polinomio di Chebyshev. Quindi la sommatoria inizia a sembrare una serie di polinomi razionali. Quindi se riesci a trasformare la serie in un polinomio razionale in base a Chebyshev, ciò consentirebbe un modo molto efficace per riassumerlo. Se non hai familiarità con i polinomi e le basi di Chebyshev, le Ricette numeriche in C hanno un buon primer, oltre a questo: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

ehm, questo dovrebbe dire

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@JayLemmon Grazie per quel link. Dare un'occhiata e vedere se aiuta.

— Kirill

Mi unirò a questa festa un po 'tardi, ma hai provato a usare gli approssimativi Padé, ovvero l' algoritmo

invece dell'estrapolazione di Richardson?

ε

$\varepsilon$

— Pedro,

Per analogia con il caso di integrali altamente oscillatori, non credo che sarete in grado di fare un buon lavoro senza una certa conoscenza della separazione tra parti oscillatorie e non oscillatorie. Se hai una tale separazione, la risposta della serie di Fourier ti offre una facile convergenza esponenziale.

— Geoffrey Irving,

Risposte:

Se le tecniche analitiche non sono consentite ma la struttura periodica è nota, ecco un approccio. Sia essere periodico con il periodo, in modo che dove

g (X) = \frac{\cos X}{2 - \cos X}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (X) = \underset{j}{Σ} w_{j} e^{io j X}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

Pertanto,

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (X) e^{- io j X} d X

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

È possibile approssimare direttamente gli integrali

oppure calcolare un gruppo divalori

e utilizzare un DFT. In entrambi i casi, è possibile applicare estrapolazione Richardson al risultato. Poiché nel tuo caso

è analitico all'interno di un quartiere di

, la serie finale converge esponenzialmente anche senza Richardson.

\begin{aligned} f (X) & = \underset{K \geq 1}{Σ} \frac{g (K X)}{K^{p}} \\ = \underset{K \geq 1}{Σ} \frac{1}{K^{p}} \underset{j}{Σ} w_{j} e^{io j K X} \\ = \underset{j}{Σ} w_{j} \underset{K \geq 1}{Σ} \frac{{(e^{io j X})}^{K}}{K^{p}} \\ = \underset{j}{Σ} w_{j} {Li}_{p} (e^{io j X}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— Geoffrey Irving
fonte

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (X) & = \underset{K \geq 1}{Σ} \frac{\cos K X}{K^{2} (2 - \cos K X)} \\ = Σ_{K = 1}^{B} \frac{\cos K X}{2 - \cos K X} \underset{n \geq 0}{Σ} \frac{1}{(K + B n)^{2}} \\ = Σ_{K = 1}^{B} \frac{\cos K X}{2 - \cos K X} \frac{ψ^{1} (K / B)}{B^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ Valori e derivati per la serie

— Geoffrey Irving
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Grazie. Il problema è che ho selezionato questa funzione specifica come modello per un'altra funzione più complicata che volevo effettivamente valutare, con caratteristiche simili, ma in realtà non uguali. Sono a conoscenza del modulo chiuso da questa domanda su MSE . Intendevo questo come una domanda sulla somma numerica di una serie infinita senza forma chiusa.

— Kirill,

Forse la mia altra risposta è migliore allora?

— Geoffrey Irving,

Che ne dici della trasformazione a U di Levin ? Oltre ai codici Fortan, ci sono diverse versioni nel GSL : `gsl_sum_levin_u * ' . Il MuPAD e Maple di Matlab usano questo schema.

— Horchler
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L'ho provato, ma ho trovato l'estrapolazione di Richardson più accurata.

— Kirill