Ideal LPF BIBO è instabile?

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In una delle altre discussioni: come trovare la risposta in frequenza, la stabilità e la causalità di un sistema lineare?

Ho trovato un commento abbastanza forte e sicuramente attirato la mia attenzione.

Un filtro passa basso ideale è un esempio di un sistema che non è BIBO stabile anche se la sua risposta in frequenza è limitata per tutte le $f$

Sto seguendo la definizione di stabilità come qui nel wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

Qualcuno può darmi una prova che il LPF ideale può davvero essere instabile BIBO?

Naturalmente, un LPF ideale con guadagno infinito può produrre output illimitato. La domanda è limitata a LPF quando il guadagno è limitato.

filters linear-systems

— Dipan Mehta
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Un LPF ideale ha una risposta all'impulso della forma che non soddisfa la condizione necessario per la stabilità BIBO. Pertanto, la risposta at al segnale limitato (che passa avanti e indietro tra e ) è e quindi un LPF ideale non è un sistema stabile BIBO.

h (t) = sinc (t)

$h(t) =\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty$

t = 0

$t=0$

x (t) = sgn (sinc (t))

$x(t) = \text{sgn}(\text{sinc}(t))$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

\int h (- t) x (t) d t = \int h (t) x (t) d t = \int | h (t) | d t = \infty

$\int h(-t)x(t)dt = \int h(t)x(t)dt = \int |h(t)|dt = \infty$

— Dilip Sarwate,

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Questa risposta è una risposta a un commento dell'OP sulla risposta di Yoda.

Supponiamo che , la risposta all'impulso di un sistema invariante nel tempo lineare a tempo continuo, abbia la proprietà che per qualche numero finito . Quindi, per ogni input limitato , anche l'uscita è limitata. Se per tutte dove è un numero finito, quindi per tutte dove è anche un numero finito. La prova è semplice. $h(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = M

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$

M

$M$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

| x (t) | \leq \hat{M}

$|x(t)| \leq \hat{M}$

t

$t$

\hat{M}

$\hat{M}$

| y (t) | \leq \hat{M} M

$|y(t)| \leq \hat{M}M$

t

$t$

\hat{M} M

$\hat{M}M$

\begin{aligned} | y (t) | & = | \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ | \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) x (t - τ) | d τ \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | \cdot | x (t - τ) | d τ \\ \leq \hat{M} \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | d τ \\ = \hat{M} M . \end{aligned}

$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$ In altre parole, è limitato ogni volta che è limitato.

y (t)

$y(t)$

x (t)

$x(t)$

Pertanto, la condizione è sufficiente per la stabilità BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

La condizione è anche necessario per la stabilità BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Supponiamo che ogni input limitato produca un output limitato. Ora considera l'input . Questo è chiaramente limitato, ( per tutte ), e at , produce output nostro presupposto che il sistema sia BIBO stabile significa che è necessariamente finito, cioè $x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$ $|x(t)| \leq 1$ $t$ $t=0$

\begin{aligned} y (0) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (0 - τ) x (- τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (- τ) sgn (h (- τ)) d τ & = \int_{- \infty}^{\infty} | h (- τ) | d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t . \end{aligned}

$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$

y (0)

$y(0)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

La prova per i sistemi a tempo discreto è simile all'ovvio cambiamento che tutti gli integrali sono sostituiti da somme.

Gli LPF ideali non sono sistemi stabili BIBO perché la risposta all'impulso non è assolutamente integrabile, come affermato nella risposta di Yoda. Ma la sua risposta non risponde davvero alla domanda

Qualcuno può darmi una prova che il LPF ideale può davvero essere instabile BIBO?

Un esempio specifico di un segnale di ingresso limitato che produce un'uscita non limitata da un LPF ideale (e quindi dimostra che il sistema non è stabile BIBO) può essere costruito come indicato sopra (vedi anche il mio commento sulla domanda principale).

— Dilip Sarwate
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Una condizione necessaria per la stabilità BIBO è l'esistenza della norma (o norma per i sistemi discreti) della risposta all'impulso. Dall'articolo wiki che hai citato, $L^1$ $\ell^1$

Per un sistema invariante a tempo lineare continuo (LTI), la condizione per la stabilità BIBO è che la risposta all'impulso sia assolutamente integrabile, ovvero che esista la sua norma L1.

$\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = ‖ h (t) ‖_{1} < \infty$ $\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$

La risposta all'impulso di un LPF ideale è la funzione , che ha solo la norma e non la norma . In altre parole, non è assolutamente sommabile o $\text{sinc}$ $L^2$ $L^1$ $\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | sinc (t) | d t = \infty

$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$

Quindi, un LPF ideale non è stabile BIBO nonostante la sua risposta in frequenza sia limitata per tutto . $f$

— Lorem Ipsum
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Da quello che pensavo che la risposta all'impulso fosse assolutamente sommabile, cioè esiste la sua norma L1. è una condizione sufficiente che un sistema sia stabile BIBO. Tuttavia, questa è una condizione necessaria che deve contenere?

— Dipan Mehta,

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La trasformata di Fourier dell'ideale lpf è una funzione sincera nel dominio del tempo che esiste da -infinito a + infinito, quindi è non causale e l'area al suo interno è infinita, quindi illimitata. ..

— pankaj kumar singh
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Benvenuti in DSP.SE! Grazie per la tua risposta, ma non credo che aggiunga nulla alle risposte esistenti. Inoltre, non è vero che l'area sotto la funzione sinc è illimitata, è l'area sotto la grandezza della funzione sinc che è illimitata. Quest'ultimo provoca l'instabilità del sistema.

— Matt L.