Esistono alternative alla trasformazione bilineare?

Quando si progetta un filtro digitale basato su un filtro analogico di solito si utilizza la trasformazione bilineare . Per approssimare una funzione di trasferimento discreta dalla funzione di trasferimento (continua) analogica A ( s ) che sostituiamo$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

dove è il periodo di campionamento. In alternativa, per approssimare una funzione di trasferimento continuo A a ( s ) dalla funzione di trasferimento discreta D ( z ) sostituiamo$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Esistono metodi alternativi per eseguire tali conversioni? Ci sono approssimazioni migliori?

I filtri analogici sono stabili se i poli si trovano nella metà sinistra del piano s (figura a sinistra) e i filtri digitali sono stabili se i poli si trovano all'interno del cerchio dell'unità (figura a destra). Quindi matematicamente tutto ciò che serve per convertire da analogico a digitale è una mappatura (conforme?) Dal al disco dell'unità e dall'asse ȷ Ω al cerchio dell'unità | z | = 1 . Qualsiasi trasformazione che faccia questo è un possibile candidato per essere un'alternativa alla trasformazione bilaterale.$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Tuttavia, ci sono differenze chiave tra i due.

Metodo di invarianza dell'impulso:

In questo metodo, si espande la funzione di trasferimento analogico come frazioni parziali (non nella trasformata Z corrispondente come menzionato da Peter ) come

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

$C_m$$\alpha_m$

Il motivo per cui fallisce è anche abbastanza chiaro. Se avessi un polinomio nel numeratore dello stesso grado del denominatore, avrai un termine permanente indipendente, che alla trasformazione inversa darà una funzione delta che non può essere campionata.

$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Trasformata Z abbinata

$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Puoi facilmente vedere la limitazione di entrambi questi metodi. L'impulso invariante è applicabile solo se il filtro è passa basso e il metodo di trasformazione z adattato è applicabile ai filtri passa banda e passa banda (e passa alto fino alla frequenza di Nyquist). In pratica sono anche limitati dalla frequenza di campionamento (dopotutto, puoi salire fino a un certo punto) e soffrono degli effetti dell'aliasing.

La trasformazione bilineare è di gran lunga il metodo più comunemente usato nella pratica e le due sopra menzionate sono piuttosto più per gli interessi accademici. Per quanto riguarda la conversione in analogico, mi dispiace ma non lo so e non posso esservi di grande aiuto in quanto non uso quasi mai i filtri analogici.

$s$$z$

Alcuni esempi sono:

Trasformazione Z abbinata

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

E la conversione di ogni parte dell'espansione della frazione parziale viene eseguita direttamente utilizzando:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

La regola di Simpson

Un'interpretazione della trasformata bilineare è che è un modo di trasformare da tempo continuo a tempo discreto mediante integrazione approssimativa usando la Regola trapezoidale .

Una tecnica più accurata per l'integrazione approssimativa utilizza la regola di Simpson. Se viene utilizzata questa approssimazione, la mappatura risultante è:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$