C'è un modo per ottenere la risposta all'impulso di un sistema discreto semplicemente conoscendo la sua risposta alla funzione di step dell'unità discreta?

10

In tempo continuo era possibile;

u (t) ⟶ sistema ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ sistema ⟶ \frac{d y (t)}{d t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

Lo stesso vale per il sistema temporale discreto, cioè

δ [t] = \frac{d u [t]}{d t} where: {\begin{cases} δ [t] & is the discrete time delta \\ u [t] & is the discrete time unit step function \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

C'è un modo per ottenere la risposta all'impulso di un sistema discreto semplicemente conoscendo la risposta del passo dell'unità discreta?

discrete-signals linear-systems

— pyler
fonte

1

Domanda fantastica! Benvenuti in DSP.SE. Resta in piedi e contribuisci!

— Phonon,

7

Una versione più semplice della risposta di Phonon è la seguente.

Supponiamo che indichi la risposta del sistema alla funzione di step dell'unità. Quindi, come discusso in questa risposta , in generale, è la somma delle copie ridimensionate e ritardate della risposta all'impulso, e in questo caso particolare, non è richiesto alcun ridimensionamento; solo ritardi temporali. Pertanto, $y$ $y$ dove ogni colonna a destra è una risposta all'impulso (non scalata e) ritardata nel tempo. Quindi, otteniamo facilmente che

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

con

menzione di filtri, inversioni, convoluzioni, integrazione, operatori e simili, solo semplici conseguenze della definizione di sistema lineare invariante nel tempo.

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

— Dilip Sarwate
fonte

Lo hai chiaramente fatto da più tempo di quanto non abbia fatto io =)

— Phonon

6

$D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

$u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

un' [n] * B [n] = B [n] * un' [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

(un' [n] * B [n]) * c [n] = un' [n] * (B [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

X [n] = δ [n] * X [n] = u [n] * d [n] * X [n] = d [n] * u [n] * X [n] = d [n] * (u [n] * X [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

$x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— Phonon
fonte

2

ipotesi:

$h(t)$ $s(t)$
$h[n]$ $s[n]$

In termini intuitivi, l'integrazione nel dominio del tempo continuo equivale alla somma nel dominio del tempo discreto. Analogamente, la derivata nel dominio del tempo continuo equivale alla differenza finita nel dominio discreto.

$u$ $\delta$

$u(t) = \int \delta(t)$
$u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

$s$ $h$

$s(t) = \int h(t)$
$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Ora, se osservi attentamente l'ultima equazione:

S [n] = Σ_{K = 0}^{\infty} h [n - K]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

$h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = S [n] - S [n - 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— nurabha
fonte