Può esistere un filtro causale senza sfasamenti?

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Quando stavo studiando la dispersione dell'indice di rifrazione in semiconduttori e dielettrici, il mio professore ha cercato di spiegare che se un filtro (come un dielettrico che assorbe alcune frequenze luminose o un filtro elettrico RC) rimuove alcune frequenze, i restanti devono essere sfasati per compensare la sottrazione di quelle frequenze (che si diffondono all'infinito nel tempo come al solito segnali monocromatici) dall'intero segnale, per preservare la causalità.

Capisco intuitivamente di cosa stava parlando, ma ciò di cui non sono sicuro è se la sua argomentazione è davvero giustificata, ovvero se può esistere un filtro non banale, che assorbe alcune frequenze e lascia che quelle rimanenti non vengano spostate, ma conservando comunque causalità. Non riesco a costruirne uno, ma non posso provare che non esista.

Quindi la domanda è: come si può (dis) dimostrare che un filtro causale deve spostare fasi di frequenze l'una rispetto all'altra?

filters phase

— Ruslan
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Supponiamo che un filtro lineare abbia la risposta all'impulso $h(t)$ e la risposta in frequenza / funzione di trasferimento $H(f) = \mathcal F [h(t)]$ , dove $H(f)$ ha la proprietà che $H(-f) = H^*(f)$ (vincolo di coniugazione).

Ora, la risposta di questo filtro all'input esponenziale complesso $x(t) = e^{j2\pi f t}$ è

y (t) = H (f) e^{j 2 π f t} = | H (f) | e^{j (2 π f t + ∠ H (f))}

$y(t) = H(f)e^{j2\pi f t} = |H(f)|e^{j(2\pi f t + \angle H(f))}$ e se vogliamo che questo filtro non provochi sfasamenti, deve essere quello

∠ H (f) = 0

$\angle H(f) = 0$ per tutto

f

$f$ .

Che ne dici se, invece di nessun sfasamento, siamo disposti a consentire uno sfasamento costante fisso per tutte le frequenze? Cioè, $\angle H(f) = \theta$ per tutti $f$ è accettabile per noi dove $\theta$ non deve essere $0$ ? La latitudine extra non aiuta molto, perché $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ , e quindi $\angle H(f)$ non può avere un valore costante fisso per tutte le $f$ meno che quel valore sia $0$ .

Concludiamo che se un filtro non cambia affatto la fase, allora $H(f)$ è una funzione a valore reale e, a causa del vincolo di coniugazione, è anche una funzione uniforme di $f$ . Ma poi la sua trasformata di Fourier $h(t)$ è una funzione uniforme del tempo, e quindi il filtro non può essere causale (tranne in casi banali): se la sua risposta all'impulso è diversa da zero per un particolare $t > 0$ , allora è anche diverso da zero $-t$ (dove $-t < 0$ ).

Si noti che non è necessario che il filtro stia eseguendo alcuna soppressione della frequenza, ovvero non abbiamo avuto bisogno dell'ipotesi che alcune frequenze siano "rimosse" dal filtro (come fa il filtro del professore dell'OP) per dimostrare l'affermazione secondo cui lo spostamento di fase zero non è possibile con un filtro causale, soppressore di frequenza o meno.

— Dilip Sarwate
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Bene, direi che un filtro con

è causale, sebbene sia un filtro no-op (né soppressore di frequenza, né sfasatore). In altri, la tua risposta è fantastica, grazie.

h (t) = δ (t)

$h(t)=\delta(t)$

— Ruslan,

Ottima risposta, ma se non sbaglio, la premessa che la risposta in frequenza è coniugata simmetrica si basa su una risposta all'impulso con valore reale. Perché questo è un presupposto giusto? Possiamo avere una funzione di trasferimento con coefficienti complessi che può essere intesa come la combinazione di 2 sistemi LTI a valore reale, fisicamente realizzabili. Ciò significherebbe che la risposta in frequenza non deve essere coniugata simmetrica rendendo l'analisi incompleta.

— ijuneja

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Ci sono filtri che causano uno sfasamento "lineare", cioè un ritardo costante. Non è possibile filtrare nulla (causalmente) senza causare alcun ritardo.

— user7358
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Buon punto. Quindi, i tempi relativi possono essere preservati. Che dire degli spostamenti di fase stessi: possono essere uguali per tutte le frequenze?

— Ruslan,

Sì. Questo di solito si chiama "fase lineare" '. Puoi mostrare che la risposta all'impulso di un tale filtro deve essere simmetrica o antisimmetrica.

— user7358

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Lo sfasamento è dovuto al ritardo, ovvero al tempo impiegato dal segnale per raggiungere dall'ingresso all'uscita di un sistema. Ora se il sistema non sta causando alcun cambiamento di fase, significa che il ritardo è zero. Ora pensa a un sistema che fornisce output nello stesso istante in cui viene applicato l'input. Sarà possibile? Ovviamente no. Se esiste un sistema, allora deve eseguire un qualche tipo di lavoro sul segnale che produce ritardo e infine sfasamento

— Amit_DSP
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Sembra che ciò che non avevo realizzato al momento in cui ho scritto la domanda è che stavo pensando a spostamenti di fase relativi, non al loro spostamento globale rispetto al segnale originale. Certo, quello che dici deve essere stato ovvio, anche se non lo era.

— Ruslan,

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Puoi avere un filtro senza sfasamento. Si chiama osservatore (predittore). Non è più solo un filtro, ma piuttosto un modello matematico di come le letture di più sensori si collegano tra loro. Quindi sei in grado di prevedere il segnale e quindi avere la migliore previsione possibile del segnale reale nello stesso istante in cui prendi le tue misurazioni (senza sfasamento).

— Martin
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Tale "filtro" non è causale.

— Ruslan,

Certo che è causale. La definizione di causale è che il suo output dipende solo da input passati e presenti. "La parola causale indica che l'output del filtro dipende solo da input passati e presenti."

— Martin,