Quando l'alias è una buona cosa?

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Nel libro di Hamming, The Art of Doing Science and Engineering , racconta la seguente storia:

Un gruppo della Naval Postgraduate School stava modulando un segnale ad altissima frequenza fino a dove potevano permettersi di campionare, secondo il teorema del campionamento come lo comprendevano. Ma mi sono reso conto che se avessero abilmente campionato l'alta frequenza, l'atto di campionamento stesso avrebbe modulato (alias) verso il basso. Dopo alcuni giorni di discussioni, hanno rimosso il rack delle apparecchiature per la riduzione della frequenza e il resto delle apparecchiature ha funzionato meglio!

Esistono altri modi per utilizzare l'aliasing come tecnica primaria per l'elaborazione di un segnale, al contrario di un effetto collaterale da evitare?

sampling bandpass

— datageist
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Fai attenzione all'effetto di integrazione (effetto di apertura) che mette effettivamente una larghezza di banda di taglio sul trasduttore. I segnali in arrivo che sono al di sopra della larghezza di banda di taglio a causa dell'effetto di integrazione non verranno raccolti, quindi non c'è modo di usare l'aliasing su frequenze troppo alte.

— rwong,

@rwong Molto interessante.

— datageist

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Il testo citato nella domanda è un caso di utilizzo del campionamento o del sottocampionamento passa-banda .

Qui, per evitare l' aliasing distorsione, il segnale di interesse deve essere passa-banda . Ciò significa che lo spettro di potenza del segnale è solo diverso da zero tra . $f_L < |f| < f_H$

$f_s$ $f_s$

Matematicamente, possiamo scrivere questa condizione per evitare la distorsione aliasing come

\frac{2 f_{H}}{n} \leq f_{s} \leq \frac{2 f_{L}}{n - 1}

$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$

$n$

1 \leq n \leq \frac{f_{H}}{f_{H} - f_{L}}

$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$

Ci sono un certo numero di intervalli di frequenza validi con cui puoi farlo, come illustrato dal diagramma seguente (preso dal link Wikipedia sopra).

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Nel diagramma sopra, se il problema risiede nelle aree grigie, allora possiamo evitare l'aliasing distorsione con campionamento passa-banda --- anche se il segnale campionato è alias, non abbiamo distorto la forma dello spettro del segnale.

— Peter K.
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Peter, potresti ampliare la tua risposta fornendo maggiori dettagli e alcune illustrazioni dagli articoli collegati? Lo dico perché il pdf è un link alla pagina web personale di qualcuno e se prendono il file, la risposta perde tutta la disponibilità! In generale aiuta se si parafrasano le informazioni dai collegamenti in modo che la risposta sia autosufficiente e immune al marciume dei collegamenti. Inoltre, credo che l'OP chiedesse applicazioni diverse dal campionamento passa-banda in cui l'effetto di aliasing è deliberatamente usato a suo vantaggio.

— Lorem Ipsum,

@yoda: Lo farà. Non c'è tempo in questo momento (devi falciare!), Ma ci torneremo più tardi oggi.

— Peter K.

1

Grazie! Ri: falciare, dato che hai un prato e forse anche un giardino, potrei interessarti al sito di giardinaggio ? Sono un moderatore in quel sito e abbiamo alcuni buoni consigli su come coltivare / mantenere prati e riparare prati . Vi preghiamo di darci un'occhiata e sentitevi liberi di porre qualsiasi domanda relativa a verdure / fiori / alberi / compost, ecc.!

— Lorem Ipsum,

@yoda: grazie per la modifica. Non ho capito che è così che ottieni stile di visualizzazione! :-)

— Peter K.

2

È possibile sottocampionare senza che il segnale sia passa-banda, purché la frequenza di immagine del segnale desiderato sia tagliata davanti al campionatore. Con i giusti rapporti di frequenza, è possibile campionare due segnali, uno sopra e uno sotto la frequenza di campionamento, purché i segnali e le immagini non si sovrappongano dopo l'aliasing. Si noti inoltre che il sottocampionamento è molto meno tollerante del jitter di campionamento.

— hotpaw2,

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Un esempio che viene in mente è la demodulazione digitale. Il rivelatore ottimale per uno schema di modulazione lineare è associato al filtraggio e alla decimazione del campione medio di ciascun simbolo.

Il filtro abbinato potrebbe non fare un ottimo lavoro nel ridurre la larghezza di banda, ma vogliamo comunque prendere decisioni alla frequenza dei simboli.

L'aliasing dell'energia in questo caso fa parte della ricostruzione dei simboli modulati.

Il punto chiave è che l'energia deve essere alias coerentemente nella fase corretta, ovvero il tempismo è cruciale.

— Mark Borgerding
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La super risoluzione è un'altra area in cui è necessario l'aliasing o, per dirla meglio, il sistema ottico non dovrebbe essere l'anello più debole della catena (e i componenti ottici che effettivamente anti-alias come i filtri ottici anti moiré non dovrebbero far parte di la catena)

— aurelio
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Un'altra volta in cui l'aliasing non è un problema è quando si progettano filtri passa-basso utilizzati per la decimazione. È possibile consentire una certa quantità di alias dopo l'operazione di decimazione per allentare i vincoli sulle prestazioni del filtro, risultando in un progetto di ordine inferiore. Invece di posizionare il bordo della banda di arresto sulla frequenza di Nyquist post-decimazione, è possibile farlo scorrere abbastanza lontano da non ricominciare a suonare nella banda passante del filtro (e quindi corrompere il segnale di interesse).

$f_s$ $D$ $f_p$ $\frac{f_s}{2 D}$

$\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$ $f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\Delta f$

f_{s t o p_{a l i a s e d}} = \frac{f_{s}}{2 D} - Δ f \geq f_{p}

$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$

Δ f \leq \frac{f_{s}}{2 D} - f_{p}

$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$

Il risultato è che se c'è ancora una discreta quantità di sovracampionamento presente nel segnale post-decimato ( ci sono alcuni motivi per cui lo si farebbe ), allora è possibile spingere la banda di arresto di un importo non banale. Come misura quantitativa, puoi esaminare i rapporti di transizione delle specifiche del filtro "ingenuo" e "rilassato":

T_{n a i v e} = \frac{f_{p}}{f_{s t o p_{n a i v e}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}} = \frac{2 D f_{p}}{f_{s}}

$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$

T_{r e l a x e d} = \frac{f_{p}}{f_{s t o p_{r e l a x e d}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D} + (\frac{f_{s}}{2 D} - f_{p})} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}

$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$

\frac{T_{r e l a x e d}}{T_{n a i v e}} = \frac{\frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}}{\frac{2 D f_{p}}{f_{s}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$

\frac{T_{r e l a x e d}}{T_{n a i v e}} = \frac{1}{2 - \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$

Quest'ultima espressione offre una rappresentazione compatta del miglioramento del rapporto di transizione che può essere ottenuto rilassando la specifica del filtro in questo modo, parametrizzata dal rapporto tra la banda passante del filtro (cioè il segnale della larghezza di banda dell'interesse) e la frequenza di Nyquist post-decimazione . Tracciando questo rapporto in funzione della frequenza della banda passante (normalizzata dalla frequenza di campionamento post-decimazione), si ottiene:

$\frac{f_s}{D}$

— Jason R
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Aliasing può davvero essere una buona cosa in determinate condizioni.

Guardalo in questo modo: supponiamo che la frequenza di campionamento sia di 100 Hz. Diciamo anche che hai un segnale da qualche parte là fuori, che è seduto, per esempio, da 990 a 1010 Hz. (Quindi la sua larghezza di banda totale è di 20 Hz ed è centrata a 1000 Hz).

Ok fantastico, e adesso?

Supponiamo che tu abbia campionato questo segnale alla tua frequenza di 100 Hz. Tutto ciò che accade, è che il tuo segnale (seduto tra 990-1010, centrato a 1000Hz) viene copiato e spostato a multipli interi di 100, giusto?

Quindi ora all'improvviso hai una copia del tuo segnale originale 990-1010, tranne ora che ne hai uno centrato su 900, 800, 700, 600, ecc ecc, e anche 1100, 1200, 1300, ecc. Ecc. Il BW è il lo stesso ovviamente. Quindi la tua copia del segnale centrata su 900 occupa 890-910 Hz. La copia che si trova a 800 Hz occupa 790-810 Hz e così via e così via. Ne avrai anche una copia in "baseband" (ovvero è centrata a 0Hz e quindi occupa da -10 a 10Hz).

Quindi quando è utile? Bene, guarda cosa hai appena fatto: sei appena riuscito a portare il tuo segnale a 1000Hz, metterlo in banda base e tutto questo con un campionatore che funziona a soli 100Hz! E indovina cosa! Lo hai fatto legalmente secondo Nyquist!

Questo perché Nyquist non dice che devi campionare almeno il doppio della massima frequenza - sbagliato sbagliato sbagliato sbagliato sbagliato! (Ma un'idea sbagliata molto comune.) Dice che devi campionare almeno il doppio della larghezza di banda massima del tuo segnale, che in questo caso è di 20Hz.

Applicazioni? Bene, molte basi per telefoni cellulari usano effettivamente questa tecnica di "sottocampionamento". Quindi il segnale del tuo cellulare si trova a una certa distanza in alto di Ghz e la base si sta campionando tra centinaia di Mhz.

A proposito, visto che Nyquist funziona davvero, non mi piace il termine "sottocampionamento", perché ciò implica che stiamo, per contro, sottocampionando. Ma non siamo! Seguiamo completamente Nyquist e campioniamo sempre almeno il doppio della larghezza di banda massima del segnale in questione.

— Spacey
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La risposta più votata qui ha già parlato del sottocampionamento in qualche dettaglio. È anche un po 'fuorviante suggerire che le stazioni base cellulari campionano direttamente alla radiofrequenza e usano il sottocampionamento. Mentre può esserci qualche elemento di sottocampionamento utilizzato, i buoni ricevitori in genere convertono da RF a una frequenza intermedia (IF) adatta per il campionamento. Tra le molte altre ragioni, il campionamento nelle zone di Nyquist superiori è molto più sensibile al jitter del tempo di campionamento, quindi non vorrai farlo per un segnale di decine di MHz centrato a 1-2 GHz, per esempio.

— Jason R,

Yoda, grazie per i suggerimenti, questo è il mio primo post. :-) Non so di 'parli di yo-bro a cui ti riferisci, sono un oratore / scrittore appassionato in generale! Terrò i tappi agli acronimi però! :-) Jason, per le basi, ho detto centinaia di MHz non decine. Ho usato 20Hz nell'esempio. Ho lavorato personalmente su tali stazioni e funzionano perfettamente. :-)

— Spacey,