Quando possiamo scrivere il principio di incertezza di Heisenberg come uguaglianza?

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Sappiamo che il principio di incertezza di Heisenberg afferma che

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Ma (in molti casi per Morlet wavelet) ho visto che hanno cambiato la disuguaglianza in uguaglianza. Ora la mia domanda è quando ci è permesso di cambiare la disuguaglianza in un'uguaglianza:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Electricman
fonte

sembra molto interessante

— dato datuashvili il

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come so che è uguale se la distribuzione gaussiana è forma ottimale, si prega di vedere questo libro The Illustrated Wavelet Transform Handbook: Teoria di base e applicazioni in Scienze, Ingegneria, Medicina e delle Finanze

— date datuashvili

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il collegamento è interrotto amico, vorresti e-mail il libro o inviare un altro collegamento per favore? la mia email: <electricaltranslation@gmail.com> grazie @datodatuashvili

— Elettricista

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È importante definire le larghezze di tempo e frequenza e di un segnale prima di discutere qualsiasi forma speciale del principio di incertezza. Non esiste una definizione univoca di queste quantità. Con definizioni appropriate si può dimostrare che solo il segnale gaussiano soddisfa il principio di incertezza con l'uguaglianza. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Considera un segnale con trasformata di Fourier soddisfacente $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Nessuna di queste condizioni è in realtà una restrizione. Tutti possono essere soddisfatti (per segnali con energia finita) mediante adattamento, conversione e modulazione appropriati.

Se ora definiamo le larghezze di tempo e frequenza come segue

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

quindi il principio di incertezza afferma che

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(se scompare più velocemente di $f(t)$ per) $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

dove la disuguaglianza è soddisfatta dell'uguaglianza per il segnale gaussiano

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

I numeri di equazione sopra corrispondono alla dimostrazione sotto che proviene da Wavelets e Subband Coding di Vetterli e Kovacevic (p.80):

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— Matt L.
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grazie per la matematica, cercherò di capirlo. @ matt-l

— Electricman,

@Matt L .: Perché definisci le larghezze di tempo e frequenza con un fattore di peso quadrato? Ho visto a scuola che sono le variazioni. Le variazioni delle distribuzioni hanno un fattore di peso lineare? Cos'è questo? Quindi questo significa che questo principio di incertezza non parla delle varianze di una funzione e della varianza del suo spettro, ma di qualcos'altro?

— Martijn Courteaux,

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

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f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

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Non posso darti tutta la teoria alla base di questo (poiché riempie letteralmente i libri), ma si scopre che Heisenberg diventa una parità esatta proprio per questa famiglia di segnali:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

dove tutti i parametri sono numeri reali. Questa famiglia è generata da simplectomorfismi quadratici in tempo-frequenza da un singolo atomo di Gabor. Questi simplectomorfismi preservano la relazione di incertezza di Heisenberg.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

La nozione di area di frequenza temporale può tuttavia essere generalizzata per misurare l'area di forme che non sono allineate con l'asse del tempo e della frequenza. Ciò significa che invece del prodotto di incertezza tra F e T misuriamo il prodotto di incertezza minima di due variabili coniugate sparse da F e T. Ti risparmierò i dettagli, ma per questa definizione dell'area tempo-frequenza la famiglia di segnali dà tu il minimo.

— Jazzmaniac
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Non è il fuonctiuons del fiordo di Gabuor? `

— Jean-Yves,

Uno dei motivi per cui "riempie i libri" è che le molte condizioni richieste per l'uguaglianza sono definite e limitate con precisione (spesso al di là di qualsiasi utilità in qualsiasi altro contesto, come il mondo reale).

— hotpaw2

Il contesto originale del principio di incertezza di Heisenberg era la fisica, in particolare la meccanica quantistica in cui le variabili coniugate in questione sono posizione e momento. Non si limita all'analisi tempo / frequenza.

— user2718

@BZ, stai predicando al coro qui. Sono un fisico quantistico matematico. Tuttavia non vedo del tutto il punto del tuo commento qui o quello nella tua risposta.

— Jazzmaniac,

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Il principio di incertezza stabilisce un limite teorico alla risoluzione, quindi non è mai scritto come uguaglianza.

Le relazioni sull'uguaglianza che stai incontrando riguardano un contesto di analisi specifico e un'implementazione dell'analisi. In questo caso il contesto è l'analisi del segnale, quindi il tempo / la frequenza sono le variabili coniugate di interesse e l'implementazione è la wavelet specifica in uso.

La relazione sull'uguaglianza fornisce un modo per confrontare le risoluzioni tra diverse implementazioni di analisi. Bisogna fare attenzione quando si interpretano queste relazioni perché la definizione di risoluzione non dovrebbe, ma può variare.

Una relazione di uguaglianza è appropriata dopo aver definito due cose: 1) il significato matematico della risoluzione. 2) il metodo di analisi (in questo caso, la scelta del wavelet).

— user2718
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Se approfondisci, il principio di Heisenberg diventa molto più di una dichiarazione sulla risoluzione. È profondamente legato alla geometria della frequenza temporale in una struttura matematica chiamata geometria simmetrica non commutativa. Fornisce una misura teorica dell'informazione per l'informazione tempo-frequenza e diventa esattamente quantizzata integralmente. Puoi persino usarlo per generalizzare il teorema di Shannon per la ricostruzione di regioni TF arbitrarie.

— Jazzmaniac,

Nella meccanica quantistica, il principio di incertezza è una qualsiasi di una varietà di disuguaglianze matematiche che affermano un limite fondamentale alla precisione con cui certe coppie di proprietà fisiche di una particella nota come variabili complementari, come la posizione xe il momento p, possono essere conosciute contemporaneamente. Ad esempio, nel 1927, Werner Heisenberg affermò che più precisamente viene determinata la posizione di una particella, meno precisamente si può conoscere il suo momento, e viceversa. [Wikipedia - ma l'ho imparato in Fisica e l'ho visitato di nuovo nelle lezioni di analisi]

— user2718