Perché il DFT presuppone che il segnale trasformato sia periodico?

In molti libri sull'elaborazione del segnale, si afferma che il DFT assume che il segnale trasformato sia periodico (e che questo è il motivo per cui può verificarsi una perdita spettrale, ad esempio).

Ora, se guardi la definizione di DFT, non c'è semplicemente quel tipo di ipotesi. Tuttavia, nell'articolo di Wikipedia sulla trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT), si afferma che

Quando la sequenza di dati di input $x[n]$ è $N$ -periodica, l'Eq.2 può essere ridotto computazionalmente a una trasformata discreta di Fourier (DFT)

• Quindi, questo presupposto deriva dal DTFT?
• In realtà, nel calcolare il DFT, sto effettivamente calcolando il DTFT con il presupposto che il segnale sia periodico?

Ci sono già alcune buone risposte, ma ho ancora voglia di aggiungere un'altra spiegazione, perché considero questo argomento estremamente importante per la comprensione di molti aspetti dell'elaborazione del segnale digitale.

Innanzitutto è importante capire che il DFT non "assume" la periodicità del segnale da trasformare. Il DFT viene semplicemente applicato a un segnale finito di lunghezza e i coefficienti DFT corrispondenti sono definiti da$N$

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$$

Da (1) è ovvio che vengono considerati solo i campioni di nell'intervallo [ 0 , N - 1 ] , quindi non viene assunta alcuna periodicità. D'altra parte, i coefficienti X [ k ] possono essere interpretati come coefficienti di Fourier della continuazione periodica del segnale x [ n ] . Questo può essere visto dalla trasformazione inversa$x[n]$$[0,N-1]$$X[k]$$x[n]$

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$$

che calcola correttamente nell'intervallo [ 0 , N - 1 ] , ma calcola anche la sua continuazione periodica all'esterno di questo intervallo perché il lato destro (2) è periodica di periodo N . Questa proprietà è inerente alla definizione del DFT, ma non deve darci fastidio perché normalmente siamo interessati solo all'intervallo [ 0 , N - 1 ] .$x[n]$$[0,N-1]$$N$$[0,N-1]$

Considerando il DTFT di $x[n]$

$$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$$

possiamo vedere confrontando (3) con (1), che se è una sequenza finita nell'intervallo [ 0 , N - 1 ] , i coefficienti DFT X [ k ] sono campioni del DTFT X ( ω ) :$x[n]$$[0,N-1]$$X[k]$$X(\omega)$

$$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$$

Quindi un uso del DFT (ma certamente non l'unico) è il calcolo dei campioni del DTFT. Questo funziona solo se il segnale da analizzare è di lunghezza finita . Di solito questo segnale a lunghezza finita viene costruito da un segnale più lungo. Ed è questa finestra che provoca perdite spettrali.

Come ultima osservazione, si noti che il DTFT della continuazione periodica della sequenza finita x [ n ] può essere espresso in termini di coefficienti DFT di x [ n ] :$\tilde{x}[n]$$x[n]$$x[n]$

˜ X (ω)=2

$$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$$ $$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$$

EDIT: Il fatto che e ˜ X ( ω ) dati sopra sono una coppia di trasformazioni DTFT può essere mostrato come segue. Prima nota che il DTFT di un pettine a impulsi a tempo discreto è un pettine Dirac:$\tilde{x}[n]$$\tilde{X}(\omega)$

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$$

La sequenza può essere scritta come la convoluzione di x [ n ] con un pettine a impulsi:$\tilde{x}[n]$$x[n]$

$$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$$

Poiché la convoluzione corrisponde alla moltiplicazione nel dominio DTFT, il DTFT di ˜ x [ n ] è dato dalla moltiplicazione di X ( ω ) con un pettine Dirac:$\tilde{X}(\omega)$$\tilde{x}[n]$$X(\omega)$

$$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$$

Combinando con ( 4 ) si stabilisce il risultato ( 6 ) .$(9)$$(4)$$(6)$

It comes from the definition of the time domain signal:

$$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$$

You can see by definition that $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$.
On the other hand the DFT reconstruct perfectly the N samples of the signal.
Hence you can conclude it assumes a periodic continuation of it.

Another point of view would be looking at the DFT as a Finite Discrete Fourier Series (It actually is, Have a look at Discrete Fourier Series - DFS), which of course points that the signal is periodic (Finite summation of signals with period $T$ is a signal which has a period $T$).

It's an un-necessary (and often false) assumption. The DFT is just a basis transform of a finite vector.

The basis vectors of the DFT just happen to be snippets of infinitely extensible periodic functions. But there is nothing inherently periodic about the DFT input or results unless you extend the basis vectors outside the DFT aperture. Many forms of signal analysis do not require any extension or assumptions outside the sampled window or finite data vector.

Any "leakage" artifacts can also be assumed to be from a convolution of the default rectangular window with a signal that is not periodic or is of unknown periodicity or stationarity. This makes much more sense when analyzing overlapped FFT windows, where any assumption of periodicity outside of any one DFT or FFT window can be inconsistent with the data in other windows.

Periodicity may make the math relating the DFT to the DTFT more tractable. But any relationship to the DTFT may or may not be necessary when actually using an FFT for signal processing (depending on exactly which Fourier transform properties are needed for further analysis of the processing method).

Ok, my answer will be somewhat different than the other answers. my answer accepts the premise of the question rather than denies the premise of the question.

the reason that the DFT "assumes" the input signal (the signal to be transformed, what i assume the OP means by "transformed signal") is periodic is because the DFT fits a collection of basis functions to that input signal, all of which are periodic.

consider a different set of basis functions:

$$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$$

and given $N$ input samples:

$$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$$

we can fit a linear sum of these basis functions $g_k(n)$ to the input sequence

$$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$$

with judicious selection of the coefficients $X[k]$. calculating all $X[k]$ requires solving $N$ linear equations with $N$ unknowns. you can use Gaussian elimination to do it.

with the $N$ correct values for $X[k]$ for $0 \le k \le N-1$, we can make sure that the sum of these power functions (which is an $(N-1)$th-order polynomial) will evaluate exactly to $x[n]$ for each $n$ such that $0 \le n \le N-1$.

now what if you use that summation to go beyond the interval of $0 \le n \le N-1$? you can evaluate it for any $n$. you will notice that the behavior of that function will be that of an $(N-1)$th-order polynomial because that is what it is. for $n$ large enough, only the highest power with a non-zero coefficient will set the trend for the extrapolated $x[n]$.

so now, with the DFT we are fitting a different set of basis functions to our input sequence:

$$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$$

$$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$$

and the coefficients, $X[k]$, can be solved for and are:

$$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$$

the placement of that $\frac{1}{N}$ is a matter of convention. i am putting it where most of the literature puts the $\frac{1}{N}$ factor. it could be removed from the $x[n]$ equation and put in the $X[k]$ equation, instead. or "half" of it ($\sqrt{\frac{1}{N}}$) could be placed with both equations. it's just a matter of convention.

but here we are fitting a set of basis functions that are all periodic with period $N$ to the original $x[n]$. so even if $x[n]$ came from a longer sequence was not periodic, the DFT is considering that $x[n]$ is the sum of a bunch of basis functions each that are periodic with period $N$. if you add up a bunch of periodic functions, all with the same period, the sum must also be periodic with the same period.

DFT is discrete. DTFT is continuous. We can get DFT from DTFT by sampling it with the pulse train of the right period, which is actually equal to multiplying it with the pulse train. Multiplication in the transform domain is equal to convolution in discrete-time domain, this implies periodicity of signal.

Solo DFT è pratico nel mondo digitale discreto a causa di assunzioni periodiche su entrambi i domini. (Se lo chiami così.) Perché un segnale non periodico su un dominio provoca un segnale continuo sull'altro e puoi solo memorizzare segnali discreti nella memoria digitale. Quindi è necessario supporre che i segnali siano periodici su entrambi i domini per renderlo discreto su entrambi i domini.

Quando si calcola DTFT si ottiene un segnale continuo nel dominio della frequenza come uscita.
Non penso che userete la stessa procedura quando calcolerete DFT in pratica. Quando hai effettivamente calcolato sia DTFT che DFT, capirai che entrambi i calcoli di trasformazione sono storie diverse.

Since the signal is periodic, the time shifted signal doesn't change the absolute magnitude of the frequency domain.

$$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$$

$${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$$

By the way, there is nothing stopping you from taking the FFT of a non-periodic signal, but there it little practical use if none of the transformations work.