Qual è la differenza tra il ritardo di fase e il ritardo di gruppo?

41

Sto studiando alcuni DSP e ho difficoltà a capire la differenza tra ritardo di fase e ritardo di gruppo .

Mi sembra che entrambi misurino il tempo di ritardo dei sinusoidi passati attraverso un filtro.

Sono corretto nel pensare questo?
In tal caso, in che modo differiscono le due misurazioni?
Qualcuno potrebbe fornire un esempio di una situazione in cui una misurazione sarebbe più utile dell'altra?

AGGIORNARE

Leggendo avanti nell'Introduzione ai filtri digitali di Julius Smith , ho trovato una situazione in cui le due misurazioni danno almeno risultati diversi: i filtri della fase affine . Questa è una risposta parziale alla mia domanda, immagino.

— dB'
fonte

Questa pagina potrebbe essere utile. Spiega il ritardo di gruppo e i suoi effetti, senza alcuna matematica.

— user5108_Dan

la pagina di Wikipedia spiega le definizioni e le differenze matematicamente. se si dispone di un filtro a fase lineare, il ritardo di gruppo e il ritardo di fase hanno lo stesso valore e sono semplicemente il ritardo di throughput del filtro. per qualsiasi filtro generale che ha un certo guadagno in CC (cioè non un HPF né un BPF con dB in CC) e non ha un'inversione di polarità in CC, il ritardo di gruppo e il ritardo di fase hanno lo stesso valore in e vicino a CC .

- \infty

$-\infty$

— robert bristow-johnson,

19

Innanzitutto le definizioni sono diverse:

Ritardo di fase: (il negativo di) Fase divisa per frequenza
Ritardo di gruppo: (il negativo di) Prima derivata di fase vs frequenza

In parole significa:

Ritardo di fase: angolo di fase a questo punto in frequenza
Ritardo di gruppo: tasso di variazione della fase attorno a questo punto in frequenza.

Quando usare l'uno o l'altro dipende davvero dalla tua applicazione. L'applicazione classica per il ritardo di gruppo sono le onde sinusoidali modulate, ad esempio la radio AM. Il tempo impiegato dal segnale di modulazione per passare attraverso il sistema è dato dal ritardo del gruppo e non dal ritardo di fase. Un altro esempio audio potrebbe essere un kick drum: si tratta principalmente di un'onda sinusoidale modulata, quindi se si desidera determinare la quantità di delay (e potenzialmente sbiadito nel tempo), il delay di gruppo è il modo di osservarlo.

— Hilmar
fonte

"Fase assoluta a questo punto in frequenza" Non si chiamerebbe semplicemente "fase"?

— Endolith,

Intendevo "assoluto" rispetto a "relativo", ma vedo che questo può essere confuso con "valore assoluto". Lo modificherò

— Hilmar il

un'ultima differenza importante: il ritardo di fase ad una certa frequenza è il ritardo della fase del segnale quasi sinusoidale della frequenza passato attraverso il filtro. il ritardo di gruppo è il ritardo temporale dell'inviluppo o " gruppo " del quasi-sinusoide.

f

$f$

f

$f$

— robert bristow-johnson,

16

Entrambi non misurano quanto è ritardata una sinusoide. Il ritardo di fase misura esattamente questo. Il ritardo di gruppo è un po 'più complicato. Immagina un'onda sinusoidale corta con un involucro di ampiezza applicato su di essa in modo che svanisca e svanisca, diciamo, un gaussiano moltiplicato per una sinusoide. Questa busta ha una forma e, in particolare, ha un picco che rappresenta il centro di quel "pacchetto". Il ritardo di gruppo ti dice di quanto verrà ritardata quell'inviluppo di ampiezza, in particolare di quanto si sposterà il picco di quel pacchetto.

Mi piace pensarci tornando alla definizione di ritardo di gruppo: è la derivata della fase. La derivata fornisce una linearizzazione della risposta di fase in quel punto. In altre parole, a una certa frequenza, il ritardo di gruppo ti dice approssimativamente come la risposta di fase delle frequenze vicine si collega alla risposta di fase in quel punto. Ora, ricorda come stiamo usando una sinusoide modulata in ampiezza. La modulazione di ampiezza prenderà il picco della sinusoide e introdurrà bande laterali a frequenze vicine. Quindi, in un certo senso, il ritardo del gruppo ti sta dando informazioni su come le bande laterali saranno ritardate rispetto a quella frequenza portante e l'applicazione di quel ritardo cambierà in qualche modo la forma dell'inviluppo dell'ampiezza.

La cosa folle? I filtri causali possono avere un ritardo di gruppo negativo! Prendi il tuo gaussiano moltiplicato per una sinusoide: puoi costruire un circuito analogico in modo tale che quando invii quel segnale, il picco dell'inviluppo apparirà nell'uscita prima dell'ingresso. Sembra un paradosso, poiché sembrerebbe che il filtro debba "vedere" nel futuro. È decisamente strano, ma un modo di pensarci è che dato che l'inviluppo ha una forma molto prevedibile, il filtro ha già abbastanza informazioni per anticipare ciò che accadrà. Se un picco fosse inserito nel mezzo del segnale, il filtro non lo anticiperebbe. Ecco un articolo davvero interessante su questo: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— Schnarf
fonte

Quando dici "picture a ...", un'immagine reale sarebbe davvero utile qui.

— Gabriel Staples,

9

Per coloro che ancora non riescono a capire la differenza, ecco un semplice esempio

Prendere una lunga linea di trasmissione con un semplice segnale sinusoidale con un inviluppo di ampiezza, , al suo ingresso $v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

Se si misura questo segnale all'estremità della linea di trasmissione, potrebbe arrivare da qualche parte in questo modo:

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

dove è la differenza di fase da input a output. $\phi$

Se vuoi quanto tempo impiega la fase della trasmissione sinusoide, dall'input alla fine, allora è la tua risposta in secondi. $\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

Se vuoi quanto tempo impiega l' inviluppo , , della trasmissione sinusoidale dall'input alla fine, allora è la tua risposta in secondi. $v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

Il ritardo di fase è solo il tempo di viaggio per una singola frequenza mentre il ritardo di gruppo è una misura della distorsione di ampiezza se viene applicata una matrice di frequenze multiple.

— Swapnil Parihar
fonte

3

Il ritardo di fase di qualsiasi filtro è la quantità di ritardo che ogni componente di frequenza subisce attraversando i filtri (se un segnale è costituito da più frequenze).

Il ritardo di gruppo è il ritardo medio del segnale composito subito da ciascun componente della frequenza.

— Saeed
fonte

2

So che questa è una domanda piuttosto vecchia, ma ho cercato una derivazione delle espressioni di ritardo di gruppo e ritardo di fase su Internet. Non esistono molte di queste derivazioni in rete, quindi ho pensato di condividere ciò che ho trovato. Inoltre, nota che questa risposta è più una descrizione matematica che intuitiva. Per descrizioni intuitive, fare riferimento alle risposte sopra. Quindi, ecco qui:

Consideriamo un segnale e passiamo attraverso un sistema LTI con risposta in frequenza Abbiamo preso in considerazione il guadagno del sistema è l'unità perché siamo interessati ad analizzare come il sistema altera la fase del segnale di ingresso, piuttosto che il guadagno. Ora, dato che la moltiplicazione nel dominio del tempo corrisponde alla convoluzione nel dominio della frequenza, la trasformata di Fourier del segnale di ingresso è data da che equivale a Pertanto, l'uscita del sistema ha uno spettro di frequenza dato da

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$ Ora, per trovare la trasformata inversa di Fourier dell'espressione precedente, dobbiamo conoscere la forma analitica esatta per . Quindi, per semplificare le cose, assumiamo che il contenuto di frequenza di includa solo quelle frequenze che sono significativamente inferiori alla frequenza portante . In questo scenario, il segnale può essere visto come un segnale modulato in ampiezza, dove rappresenta l'inviluppo del segnale del coseno ad alta frequenza. Nel dominio delle frequenze, ora contiene due bande strette di frequenze centrate su e

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$ (fare riferimento all'equazione sopra). Ciò significa che possiamo usare un'espansione della serie Taylor del primo ordine per . where Collegando questo, possiamo calcolare la trasformata di Fourier della prima metà di come Sostituendo con , questo diventa

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$ che semplifica in Inserendo le espressioni per e , questo diventa Allo stesso modo l'altra metà della trasformata inversa di Fourier di può essere ottenuta sostituendo con . Notando che per segnali reali, è una funzione dispari, diventa

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$ Quindi, sommando i due insieme, otteniamo Notare i ritardi nell'inviluppo e nel segnale del coseno del vettore. Il ritardo di gruppo corrisponde al ritardo mentre il ritardo di fase corrisponde al ritardo nel vettore. Pertanto,

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Arkonaire
fonte