Perché vedo squillare l'output di un filtro digitale con una banda di transizione stretta?

Sto facendo un po '"estremo" di equalizzazione per effetti di tipo mangling spettrale con audio. Sto usando i filtri da muro di mattoni e i filtri passa banda e rifiuta molto stretti (plug-in vst), e mi piacerebbe sapere se c'è qualcosa che posso fare sul 'ring' pre / post con i filtri di fase lineare / fase minima Sto usando . Purtroppo devo usare pendii ripidi eq. Sono pronto a utilizzare la fase minima in quanto evita il pre-ring.

In particolare, mi chiedo:

1. Cosa causa esattamente le oscillazioni nella risposta all'impulso subito dopo l'ingresso, in un filtro di fase minima?

2. Sono queste osccilazioni che causano il suono udibile pre e post "ringing" che viene aggiunto alla banda passante con un filtro con pendenza ripida?

3. Le oscillazioni, e quindi la frequenza di chiamata, sono sempre la stessa frequenza o la frequenza di chiamata dipende in qualche modo dal segnale di ingresso?

Grazie mille per la tua esperienza. Non vedo l'ora di ricevere risposte. Dale.

Modificato in risposta alla domanda rivista e ai commenti aggiuntivi del PO.

Non sono d'accordo con l'affermazione di @ JasonR secondo cui il ring ringing è dovuto al fenomeno Gibbs .

Come descritto nell'articolo di Wikipedia collegato alla risposta di Jason, il fenomeno di Gibbs è un'osservazione sul comportamento asintotico della somma troncata (primi termini) della serie di Fourier di un segnale periodico ma discontinuo come un'onda quadra o un'onda a dente di sega. L'articolo di Wikipedia illustra un esempio dell'onda quadra, mostrando che man mano che vengono presi sempre più termini ( n diventa grande), la somma di Fourier troncata diventa sempre più vicina all'onda quadra. Ci sono oscillazioni che si verificano intorno agli istanti di commutazione in cui l'onda quadra passa da alta a bassa o viceversa, ma queste diventano sempre più piccole come $n$$n$$n$diventa grande. Come sottolinea correttamente Jason, l'ampiezza delle oscillazioni diminuisce, la frequenza aumenta e anche la durata (osservata) diminuisce. Nel complesso, sembra che la somma di Fourier troncata stia convergendo all'onda quadra nel limite come .$n \to \infty$

$n$$\infty$$n$$n$

Quindi perché si verifica lo squillo? TuttiI filtri (non banali) squillano, indipendentemente dal fatto che siano o meno muro di mattoni, indipendentemente dalla forma del segnale di ingresso e indipendentemente dal fatto che l'ingresso sia continuo o abbia transizioni nitide. Il motivo è che se l'ingresso ha energia nelle bande di frequenza che vengono arrestate (in tutto o in parte), quell'energia viene effettivamente immagazzinata internamente nel filtro e rilasciata lentamente come energia in banda man mano che il tempo avanza. La maggior parte delle volte questa versione non viene notata molto perché viene annullata dalla risposta al segnale in banda presente. Tuttavia, se il segnale in banda cambia (o cessa) in modo relativamente improvviso, quell'energia immagazzinata dai tempi precedenti deve ancora essere rilasciata, e questo è il suono che si osserva dopo che il segnale in banda è scomparso. In termini di DSP, il buffer del filtro FIR continua a svuotarsi anche dopo la fine del segnale, quindi l'uscita continua anche dopo la fine del segnale. Dal momento che i filtri di taglio vivo hanno buffer lunghi (molte sezioni biquad se lo desideri), questo svuotamento richiede molto tempo ed è molto più evidente che con un filtro più semplice che si svuota abbastanza rapidamente.

Le tue osservazioni sono un esempio del fenomeno Gibbs . Quando si applica un filtro con una banda di transizione molto nitida, si osserveranno oscillazioni nell'uscita del filtro (o "squillo") vicino a eventuali transizioni nette nel segnale di ingresso (ad es. I confini delle forme d'onda pulsate). La "frequenza" apparente delle oscillazioni dipende dalla larghezza di banda del filtro; quando si aumenta la frequenza di taglio del filtro, le oscillazioni diventeranno più localizzate nel tempo (ovvero "maggiore frequenza"), ma il superamento del picco non cambia. L'articolo di Wikipedia collegato sopra ha una buona spiegazione a metà strada .

1. Come ha sottolineato Jason, esiste un "principio di incertezza" di base: tutto ciò che ha una frequenza molto ridotta è ampio nel tempo e viceversa.
2. Se si utilizzano i filtri minimi, non dovrebbero esserci pre-squilli, ma solo post squilli. Il pre-squillo si verifica solo per i filtri di fase lineari. Il pre-squillo è molto più udibile del post-squillo, quindi i filtri minimi tendono ad essere la scelta migliore qui. Può sembrare negativo su una misurazione ma a meno che non sia estremo, il post squillo non è molto udibile a causa di alcune proprietà di mascheramento del sistema uditivo umano
3. Lo squillo è in genere esattamente alle frequenze angolari del filtro. Vale a dire un filtro passa-basso da 2 kHz produrrà uno squillo da 2 kHz, quindi la frequenza è una funzione del filtro, non del contenuto. Il contenuto lo ecciterà in modo diverso però. Se il contenuto è piccolo o nullo di 2 kHz, non ecciterà molto lo squillo.

Un filtro passa-banda con transizioni ripide e una banda passante piatta si avvicinano a una forma rettangolare.

Un rettangolo in un dominio FT è una funzione Sinc nell'altro dominio. Questo è vero per una finestra rettangolare nel dominio del tempo che crea una "perdita" spettrale nel dominio della frequenza. O per una finestra rettangolare nel dominio della frequenza che crea un pacchetto a spirale nel dominio del tempo. Più stretto è il rettangolo (larghezza di banda), più ampio è il Sinc. (E una funzione Sinc "suona" su entrambi i lati). Per una data larghezza in un dominio, l'unico modo per ottenere qualcosa di più stretto in termini di energia rispetto a un Sinc nell'altro dominio è usare qualcosa che sembra più vicino a un gaussiano di un rettangolo, ad esempio senza bordi scoscesi.

Ora considera di spostare quel rettangolo in un dominio (ad esempio cambiando la frequenza della banda passante del filtro passa-banda). Uno spostamento circolare in un dominio DFT è una rotazione di fase lineare nell'altro dominio. Somma con un coniugato complesso per ottenere una risposta reale e due pacchetti a spirale esponenziale complessi a rotazione opposta e rapida diventano una risposta nel dominio del tempo che squilla. La rapidità della suoneria sarà correlata alla frequenza centrale del passa-banda e la lunghezza della suoneria sarà correlata alla ristrettezza della larghezza di banda e alla pendenza della transizione. Se la spirale ruota per più di mezzo giro prima che l'inviluppo si estingua, ci sarà uno squillo. Il modo per far scomparire più rapidamente quell'involucro in un dominio è utilizzare una funzione di arrotondamento più ampia nell'altro dominio.

Parte 2:

Se stai usando lo strumento Remez o Parks-McClellen per progettare i tuoi filtri, otterrai una risposta equi-ripple. Una sinusoide in un dominio FT è un impulso nell'altro. Pertanto l'equi-ripple nel dominio della frequenza sarà un impulso, o "tick" nel dominio del tempo. Quel "tick" sarà spostato dal centro della risposta all'impulso dalla "frequenza" dell'ondulazione nel dominio della frequenza. Più piatto è il filtro progettato da Remez, più veloce diventa l'ondulazione, più il "tick" viene spostato dalla risposta all'impulso. Fa parte del pre-ring. Utilizzare una metodologia di progettazione del filtro meno aggressiva per evitarlo.