Cosa sono i poli e gli zeri?

Il concetto di poli e zeri nei filtri mi è stato introdotto durante il nostro laboratorio (il nostro laboratorio non è sincronizzato con la nostra lezione) attraverso la generazione di filtri a poli zero in MATLAB. Non ho acquisito importanza fino a quando non è stato menzionato nella nostra lezione che i poli rendono l'infinazione dell'equazione (o il suo denominatore zero) mentre gli zeri rendono le radici nel numeratore zero. Non riesco ancora a capire cosa siano i poli e gli zeri. Qualcuno può dare una spiegazione intuitiva e semplice su quali poli e zero sono? Molto apprezzato.

Prendi l'equazione b / (xc) con b diverso da zero. Il rapporto va all'infinito mentre x si avvicina c. Quindi c è la posizione di un palo (qualcosa di alto e appuntito in un grafico).

Prendi l'equazione (xb) / c con c diverso da zero. Il rapporto va a zero quando x si avvicina a b. Quindi b è la posizione di qualcosa comunemente chiamato "uno zero".

Non puoi farlo solo con x scalare, ma con x complessa, quindi il dominio dei poli e degli zeri sarà su un piano (complesso) anziché su una linea.

Se il rapporto rappresenta qualcosa sulla risposta di un filtro, potrebbe indicare che l'uscita del filtro è pari o vicina a zero quando l'ingresso è pari o vicino a una risposta "zero". E potrebbero accadere cose brutte quando x si avvicina a un polo (l'alimentazione inizia a fumare quando viene chiesto di fornire infiniti amplificatori, le operazioni matematiche producono NaN o overflow in punto fisso, ecc.)

Per aggiungere altre buone risposte, ho trovato utile la seguente grafica per ottenere una migliore comprensione intuitiva, più specificamente per i poli e gli zeri delle funzioni di trasferimento.

(AGGIORNAMENTO: Mi sono appena imbattuto in questo altro post simile di @Endolith che è molto buono: come i poli sono correlati alla risposta in frequenza )

Di seguito è riportata la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso con due poli nel mezzo piano sinistro, data dalla trasformata di Laplace della risposta all'impulso del filtro. Questo è un sistema analogico ma è possibile eseguire rappresentazioni equivalenti per i sistemi digitali nel dominio z anziché nel dominio s.

Il diagramma a sinistra è il tipico diagramma che vediamo quando introdotto a poli e zeri che mostrano la loro posizione sul piano s, osservando che un polo è il valore di s che fa andare l'equazione X (s) all'infinito mentre uno zero è il valore di s che rende l'equazione X (s) andare a zero. Quindi sì, questo particolare sistema ha anche due zeri all'infinito poiché quei valori per s fanno andare l'equazione a zero.

A destra è un grafico 3D che mostra l'entità di X (s) per tutti i valori di s sul piano complesso. È interessante notare che questa è l'unica trama che deriverebbe da un tale rapporto di polinomi, in modo tale che l'abbiamo completamente descritta semplicemente dal polo e da zero posizioni! Quindi ogni punto su questa superficie viene comunicato in questo caso semplicemente dalle due posizioni dei poli indicate.

In particolare, siamo spesso interessati alla risposta in frequenza di un filtro o sistema. s è l'input che sul piano complesso può avere componenti reali e immaginarie. In particolare, quando s è un valore immaginario costante, stiamo descrivendo una frequenza costante. Quindi una sezione lungo l' asse nel grafico 3D mostrato di tutte le magnitudini mostrerebbe la risposta di magnitudo del filtro, come raffigurato nell'angolo in alto a destra del diagramma sopra (che equivale alla grandezza della trasformata di Fourier del risposta all'impulso del filtro).$j\omega$

Ciò che non è mostrato nel grafico 3D sopra è la "Regione di Convergenza" che mostra tutti i valori di s in cui la Trasformata di Laplace converge in un valore finito a seconda che il sistema sia causale o anti-causale.

La funzione di trasferimento di una rete (scatola nera) è generalmente una funzione razionale con un numeratore e un polinomio denominatore. Secondo il teorema fondamentale dell'algebra di Gauss, un polinomio può anche essere scritto come il prodotto degli zeri polinomiali. Gli zeri del polinomio denominatore creano quindi i poli della funzione di trasferimento (1 / zero = infinito -> polo). Gli zeri del polinomio numeratore sono gli zero della funzione di trasferimento.

Vedi anche: http://www.rfcurrent.com/poles-and-zeroes

Innanzitutto, dovresti vedere un piano z come un insieme di segnali esponenziali complessi. Se , poi corrispondente segnale discreto . Se , è un segnale in decomposizione.$z = z_0$$Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$$|z_0|<1$

In secondo luogo, i poli e gli zeri vengono utilizzati per descrivere un sistema IIR, ovvero un sistema con un feedback.

Gli zeri sono facili: se il sistema ha uno zero in , ciò significa che un segnale definito da su un piano z passerà attraverso un circuito di feedback e si sommerà con se stesso rigorosamente sfasato con conseguente uscita zero. I poli sono un po 'più complicati: se il sistema ha un polo su , significa che un sistema genererà questo segnale di quanto non sia disturbato e si muova liberamente. Ovviamente se il sistema ha un polo per aumentare il segnale ( ), è instabile. Quando si progetta un filtro, gli zeri devono essere posizionati per sopprimere le frequenze indesiderate. I poli sono posizionati in modo tale$z_0$$z_0$$z_0$$|z_0|>1$

• annullano l'influenza degli zeri per le frequenze da passare
• il filtro rimane stabile