Qual è il vero significato di un sistema a fase minima?

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Qual è il vero significato di un sistema a fase minima ? Leggere l'articolo di Wikipedia e Oppenheim è di aiuto, in quanto comprendiamo che per un sistema LTI , la fase minima significa che l'inverso è causale e stabile. (Ciò significa che zeri e poli si trovano all'interno del cerchio unitario), ma cosa c'entra "fase" e "minimo"? Possiamo dire che un sistema è la fase minima osservando in qualche modo la risposta di fase del DFT?

filters filter-design

— TheGrapeBeyond
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Benvenuto! Elaborazione del segnale! Questa è un'ottima domanda Assicurati di leggere le nostre FAQ che contengono molte informazioni utili sul sito.

— Phonon,

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La relazione tra "minimo" e "fase" in un sistema a fase minima o filtro può essere vista se si traccia la fase non scartata rispetto alla frequenza. È possibile utilizzare un diagramma zero polare della risposta del sistema per eseguire un diagramma grafico incrementale della risposta in frequenza e dell'angolo di fase. Questo metodo aiuta a fare un diagramma di fase senza discontinuità di avvolgimento di fase.

Inserisci tutti gli zeri all'interno del cerchio dell'unità (o nel semipiano sinistro nel caso del tempo continuo), dove devono essere presenti anche tutti i poli per la stabilità del sistema. Sommare gli angoli da tutti i poli e il negativo degli angoli da tutti gli zeri, per calcolare la fase totale in un punto sul cerchio unitario, mentre quel punto di riferimento della risposta in frequenza si sposta attorno al cerchio unitario. Traccia fase vs. frequenza. Ora confronta questo diagramma con un diagramma simile per un diagramma polo-zero con uno qualsiasi degli zeri scambiati al di fuori del cerchio unitario (fase non minima). La pendenza media complessiva della linea con tutti gli zeri all'interno sarà inferiore alla pendenza media di qualsiasi altra linea che rappresenta la stessa risposta del sistema LTI (ad esempio con uno zero riflesso all'esterno del cerchio dell'unità). Questo perché i "wind up" nell'angolo di fase sono tutti per lo più cancellati dal "

Questa disposizione, tutti gli zeri all'interno del cerchio unitario, corrisponde quindi all'aumento totale minimo di fase, che corrisponde al ritardo di fase totale medio minimo, che corrisponde alla massima compattezza nel tempo, per qualsiasi dato set (stabile) di poli e zeri con la stessa identica risposta in magnitudo di frequenza. Quindi la relazione tra "minimo" e "fase" per questa particolare disposizione di poli e zeri.

Vedi anche la mia vecchia immagine di parole con strane manovelle negli antichi archivi usenet comp.dsp: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

— hotpaw2
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Hmm, interessante - quindi POSSIAMO dire che un sistema è in fase min guardando la risposta di fase dal suo DFT, allora sembra, giusto?

— Spacey,

@Mohammad: un problema con l'utilizzo di un DFT per la risposta di fase è la fase di scartamento, che può avere o meno una soluzione unica o chiusa. (Soprattutto un problema se ci sono "discontinuità" nella risposta all'impulso.)

— hotpaw2

@ hotpaw2 Con lo scartamento stiamo annullando il modulo 2 * pi o -2 * pi, (due modi per farlo), ma anche allora non pensavo che sarebbe stato un problema.

— Spacey,

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hotpaw- Grande analogia. Ho un libro che utilizza invece il Principio Argomento da analisi complesse. È una prova elegante, ma non per i non matematici.

— Bryan,

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@Bryan Questo sembra molto interessante. Qual'è il titolo del libro?

— Shamisen,

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Come hai già visto, la fase minima ha molti significati e implicazioni fisiche. La fase da cui proviene è che, per una determinata grandezza della risposta in frequenza, corrisponde al filtro che ha il minor ritardo di gruppo. Cioè, puoi avere diversi filtri con la stessa ampiezza della risposta in frequenza, ma uno di questi può essere realizzato con la minima quantità di ritardo del filtro. In questo senso, è molto desiderato nei sistemi di controllo in cui il ritardo di filtraggio può essere fondamentale per la stabilità. Sto abusando di alcune notazioni qui, poiché il "ritardo" della fase può avere molti significati, ma l'essenza è lì (e per il ritardo del gruppo, è un dato di fatto).

In altri regni, se un sistema è una fase minima, il suo inverso avrà tutti i suoi poli all'interno del cerchio unitario e sarà causale. Quindi un sistema a fase minima ha un inverso stabile. Questo è importante in molte altre applicazioni per ovvie ragioni. Se devi risolvere un sistema lineare di equazioni, sapere che il sistema è la fase minima garantisce che la sua fase inversa sarà la fase minima, e quindi la stabilità è garantita (al di fuori di qualsiasi effetto di quantizzazione).

Potrebbe non essere ovvio se un sistema è una fase minima osservando il DFT. Esiste una relazione tra la grandezza di un sistema a fase minima e la sua fase, ma potrebbe non essere visivamente evidente. Tuttavia, i filtri reticolari adattivi hanno la caratteristica ordinata in quanto i filtri di fase minima sono facilmente identificabili se tutti i coefficienti di riflessione sono inferiori o uguali a uno di grandezza. In questo modo, i filtri calcolati in modo adattivo possono essere determinati se sono stabili al volo con poca logica.

— Bryan
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Vorrei aggiungere che il criterio di stabilità "poli all'interno del cerchio unitario" è valido per i sistemi a tempo discreto, mentre per i sistemi a tempo continuo, si desidera che i poli si trovino nella metà sinistra del piano .

s

$s$

— Jason R,

Ah sì, punto eccellente. Per coloro che non hanno familiarità con la trasformazione bilineare (che mappa in modo efficace il piano s della mano sinistra nel cerchio unitario sul piano z), questa è una distinzione importante. Grazie.

— Bryan

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La "relazione" tra ampiezza del tronco e fase minima è la trasformazione di Hilbert

— Hilmar,

Il filtro di fase minima sembra essere IIR, ma quanto è minima la loro fase rispetto a FIR?

— TheGrapeBeyond

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Non vi è alcun motivo per cui un filtro a fase minima non può essere FIR. L'unica condizione è che tutti gli zeri del filtro devono trovarsi all'interno del cerchio dell'unità. Dato un filtro di fase non minima, è sempre possibile trasformarlo in un filtro di fase minima che ha la stessa risposta di magnitudine spostando eventuali zeri all'esterno del cerchio unitario sul reciproco coniugato. Cioè, per tutti i filtri zeri , se , sostituisci con .

z_{i}

$z_i$

| z_{i} | > 1

$|z_i| > 1$

z_{i}

$z_i$

\frac{1}{z_{i}^{*}}

$\frac{1}{z_i^*}$

— Jason R,

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Una delle proprietà più utili del sistema a fase minima è che hanno una risposta all'impulso che è la più compatta nel tempo possibile per una data funzione di ampiezza. Tecnicamente questo può essere espresso come

\sum_{i = 0}^{k} h [i]^{2} = m i n, k ϵ N

$\sum_{i=0}^{k}h[i]^2 = min, k\epsilon \mathbb{N}$

— Hilmar
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Non dovrebbe essere massimo piuttosto che minimo se ha la maggior parte della sua energia in anticipo?

h [n]

$h[n]$

— Phonon,

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Lettura

Questo documento sembra avere una certa saggezza in materia di sistemi di fase minima:

John Bechhoefer, " Kramers-Kronig, Bode e il significato di zero ", American Journal of Physics 79 , 10 (2011).

— nibot
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