L'up-campionamento prima della correlazione incrociata è inutile?

Si consideri un semplice caso in cui due segnali provenienti da due sensori diversi sono correlati in modo incrociato e il ritardo di arrivo calcolato dall'assissa del picco della loro funzione di correlazione incrociata.

Supponiamo ora che, a causa dei vincoli di dimensionalità di entrambe le antenne e dei vincoli sulla massima frequenza di campionamento possibile, il ritardo massimo raggiungibile possibile sia , corrispondente a 10 campioni.$D$

Il problema:

A causa di questi vincoli, il ritardo calcolato può variare da qualsiasi valore intero compreso tra 0 e 10 campioni, ovvero: . Ciò è problematico perché ciò che desidero veramente è la discriminazione a ritardo frazionario del ritardo tra i due segnali che incidono sulle mie antenne e la modifica delle dimensioni o della frequenza di campionamento non è un'opzione.$0 \le D \le 10$

Alcuni pensieri:

• Naturalmente, la prima cosa a cui penso in questo caso è il sovracampionamento dei segnali prima di eseguire una correlazione incrociata. Tuttavia, penso che questo sia in qualche modo "imbroglione", perché non sto davvero aggiungendo alcuna nuova informazione nel sistema.

• $D=7$$D=8$$D=7.751$

Le domande):

• Questo è veramente 'barare'?

  • In caso contrario, da dove proviene questa nuova "informazione"?
  • Se sì, quali altre opzioni sono disponibili per stimare i tempi di ritardo frazionario?

• Sono consapevole di ricampionare il risultato della correlazione incrociata, nel tentativo di raccogliere le risposte del sottocampione al ritardo, ma anche questa non è una forma di "imbroglione"? Perché è diverso dal ricampionamento prima della correlazione incrociata?

Se davvero il upsampling non sta 'tradendo', allora perché dovremmo mai aumentare la nostra frequenza di campionamento? (La frequenza di campionamento non è sempre migliore in un certo senso rispetto all'interpolazione di un segnale di campionamento basso?)

Sembrerebbe quindi che potremmo semplicemente campionare a una velocità molto bassa e interpolare quanto vogliamo. Ciò non renderebbe quindi 'inutile' aumentare la frequenza di campionamento alla luce della semplice interpolazione di un segnale al desiderio del nostro cuore? Mi rendo conto che l'interpolazione richiede tempo di calcolo e che semplicemente non inizierebbe con una frequenza di campionamento più elevata, ma è questa l'unica ragione?

Grazie.

Non è un imbroglio e non aggiunge nemmeno nuove informazioni. Quello che stai facendo è la stessa cosa che sta facendo qualsiasi LPF di ricampionamento, aggiungendo zeri e poi ricostruendo la forma d'onda con le informazioni di frequenza già note. Pertanto, non ci sono nuove informazioni, ma esiste ancora una risoluzione temporale più precisa.

Aumentare il risultato è simile: nessuna nuova informazione, ma una risoluzione temporale più precisa. Puoi fare qualcosa di molto simile attraverso l' interpolazione quadratica .

Tutti questi metodi - upsampling e interpolazione polinomiale - ottengono le loro informazioni su dove si trova il picco frazionario sia dal picco stesso che dai suoi vicini. Un rapido esempio pittorico.

La linea blu nella figura sopra è il mio simulato dati di correlazione incrociata (anche se potrebbe essere qualsiasi risultato, non solo una correlazione incrociata). È quello che chiamo picco "equilibrato" perché i vicini sono simmetrici. Come prevedibile, l'interpolazione quadratica risultante (linea rossa) indica che il picco reale è pari a zero.

L'immagine in basso, d'altra parte, mostra un picco sbilanciato. Si noti che nel risultato non è cambiato nulla tranne i valori dei due vicini più vicini. Ciò causa l'interpolatore, tuttavia, per spostare la sua stima del picco frazionario.

Un vantaggio secondario di questi metodi (interpolazione polinomiale e upsampling) è che ti dà anche una stima del vero valore di picco, sebbene di solito siamo più interessati alla posizione.

Se davvero il upsampling non sta 'tradendo', allora perché dovremmo mai aumentare la nostra frequenza di campionamento?

Per soddisfare il criterio di Nyquist.

Avere una frequenza di campionamento più alta non è sempre migliore in un certo senso che interpolare un segnale campionato basso?

No. Da un punto di vista teorico, fintanto che il criterio di Nyquist è soddisfatto, non importa quale sia la frequenza di campionamento. Da un punto di vista pratico, si va generalmente con una frequenza di campionamento più bassa possibile per ridurre i requisiti di archiviazione e il carico computazionale, il che a sua volta riduce le risorse necessarie e il consumo di energia.

È possibile interpolare qualsiasi segnale bandlimited. L'informazione aggiuntiva "tra i campioni" è contenuta nei campioni adiacenti, più il fatto che il segnale era banditato prima del campionamento (che tende a diffondere informazioni tra i campioni adiacenti). Se due segnali sono bandlimited, allora sarà la correlazione incrociata, quindi anche la correlazione incrociata può essere interpolata. Il Upsampling è solo un'altra forma di interpolazione, una forma molto accurata di interpolazione per segnali bandlimited; ma potresti usare anche l'interpolazione Sinc (entrambe le quali possono essere più accurate dell'interpolazione quadratica o parabolica).

L'interpolazione può mostrare un picco tra i campioni. Quindi forse non inutile.

Se hai un segnale contenente uno spettro più ampio, può contenere più informazioni. Il campionamento a una velocità più elevata fornirà quindi maggiori informazioni, ma solo fino a poco meno della metà della nuova frequenza limite di banda, e solo se il segnale contenesse il contenuto di frequenza spettrale utile effettivo sopra il vecchio limite di banda e se ora è possibile ottenere questo ulteriore spettro utilizzando un nuovo processo o filtro di limitazione della banda a banda larga, anziché il vecchio più a perdita. Il campionamento di dati a una frequenza molto più elevata di un segnale che era già stato limitato a una frequenza molto più bassa al di sotto di Fs / 2 acquisterà solo l'interpolazione, non ulteriori contenuti informativi.

Se il campionamento è quantizzato, il campionamento a una velocità più elevata potrebbe acquisire una frazione di LSB più informazioni, a causa del dithering o del noise shaping dell'errore di quantizzazione. Ma questo dipende dal rapporto S / N e dalla precisione del campionatore e dall'esatto processo di quantizzazione utilizzato nel campionamento.

Se due segnali non sono opportunamente banditi prima del campionamento e della correlazione incrociata, allora non solo sia il upsampling che l'interpolazione potrebbero procurarti un risultato spazzatura, ma potrebbe anche essere la correlazione incrociata non interpolata originale.

Penso che la migliore risposta che posso darti sia: hai tutti i mezzi per scoprirlo da solo. Costruisci un esempio "indietro". Usando Matlab, inizia con due segnali campionati con periodi di campionamento molto piccoli (in modo che siano segnali a tempo quasi continuo). Calcola la correlazione incrociata e trova il picco (se è quello che vuoi), che sarai in grado di fare con alta precisione. Quindi, sottocampionare entrambi i segnali e ripetere il processo. Confronta la posizione e l'altezza del secondo picco con il primo. Sono sicuro che il secondo sarà peggiore. Il miglioramento dal secondo al primo è quello che guadagni, se esegui il upcampionamento prima della correlazione incrociata.

Per ricampionare nel modo giusto, entrambi i segnali devono essere limitati dalla banda ed è necessario conoscere quelle larghezze di banda. Le "nuove" informazioni che menzioni nella tua domanda provengono dai campioni adiacenti e dal fatto che i segnali sono limitati dalla banda.

Per aggiungere un po 'alle risposte precedenti, è possibile ottenere l'equivalente di una correlazione incrociata limitata in banda ricampionata rendendo la variabile di correlazione non intera.

$\tau$

Cioè, trova il massimo della correlazione incrociata.

Le variabili di input ae bdescrivono e per e si presume che siano entrambi limitati di banda e periodici con il periodo (il passaggio viene implementato nel dominio discreto di Fourier). è nell'intervallo .$f\left(n\right)$$g\left(n\right)$$n = \{0, 1, ... , N-1\}$$N$$\tau$$[-N+1, N-1]$

L'intenzione è quella di mostrare come la correlazione incrociata può essere eseguita per non interi , che è definita dalla chiusura . Questo utilizza l' array, che descrive la rotazione del fasore complesso ad ogni frequenza discreta corrispondente a un time-shift . quindi lo ridimensiona per ogni turno. Dovrebbe essere evidente che per mantenere un segnale in tempo reale, le rotazioni delle frequenze negative sono solo volte le rotazioni delle frequenze positive (per le corrispondenti coppie di frequenze).$\tau$correlate_pointomega$\tau=1$$\tau$$-1$

L'unica sottigliezza è nel modo in cui trattate il campione (la frequenza di nyquist), poiché questo è condiviso tra le bande positive e negative. La soluzione qui usata è quella di interpolare tra il fasore di rotazione positivo e il fasore di rotazione negativo (che sono riflessi sull'asse reale), che è di proiettare il fasore di rotazione dell'unità sull'asse reale, che è una funzione cos ( è perché è il valore di corrispondente alla frequenza di nyquist). Chiaramente questo valore deve essere reale per mantenere un segnale di dominio in tempo reale.$\frac{N}{2}$piomega

Puoi usarlo per calcolare la correlazione incrociata per qualsiasi valore arbitrariamente preciso di . Chiama semplicemente la chiusura (che può essere restituita come richiamabile) con qualsiasi valore di desideri.$\tau$$\tau$

import numpy
from numpy import fft
from scipy import optimize

def arg_max_corr(a, b):

    if len(a.shape) > 1:
        raise ValueError('Needs a 1-dimensional array.')

    length = len(a)
    if not length % 2 == 0:
        raise ValueError('Needs an even length array.')

    if not a.shape == b.shape:
        raise ValueError('The 2 arrays need to be the same shape')

    # Start by finding the coarse discretised arg_max
    coarse_max = numpy.argmax(numpy.correlate(a, b, mode='full')) - length+1

    omega = numpy.zeros(length)
    omega[0:length/2] = (2*numpy.pi*numpy.arange(length/2))/length
    omega[length/2+1:] = (2*numpy.pi*
            (numpy.arange(length/2+1, length)-length))/length

    fft_a = fft.fft(a)

    def correlate_point(tau):
        rotate_vec = numpy.exp(1j*tau*omega)
        rotate_vec[length/2] = numpy.cos(numpy.pi*tau)

        return numpy.sum((fft.ifft(fft_a*rotate_vec)).real*b)

    start_arg, end_arg = (float(coarse_max)-1, float(coarse_max)+1)

    max_arg = optimize.fminbound(lambda tau: -correlate_point(tau), 
            start_arg, end_arg)

    return max_arg

Esiste una prova intuitiva che il sovracampionamento prima della correlazione incrociata equivale a farlo in seguito:

La correlazione incrociata è la convoluzione con l'altro segnale invertito nel tempo. L'inversione del tempo non influisce sulla larghezza di banda. La convoluzione è una moltiplicazione nel dominio della frequenza, che inoltre non aumenta la larghezza di banda. Se i segnali originali sono correttamente limitati in banda, a metà della frequenza di campionamento, lo sarà anche il risultato della correlazione incrociata. Non viene introdotto alcun alias per rovinare il risultato. L'interpolazione successivamente salva il lavoro.