Come capire Kalman ottenere intuitivamente?

L' algoritmo del filtro Kalman funziona come segue

Inizializza x 0 | 0 e P 0 | 0 .$\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

Ad ogni iterazione $k=1,\dots,n$

predire

Previsto (a priori) Stato stima x k | k - 1 = F k x k - 1 | k - 1 + B k u k Previsione (a priori) stima covarianza P k | k - 1 = F k P k - 1 | k - 1 F T k + Q k Aggiornamento

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

L'innovazione o la misura residua Covarianza per l'innovazione (o residua) S k = H k P k | k - 1 H

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ Guadagno Kalmanottimale Kk=Pk| k-1H T k S - 1 $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ Aggiornamento (a posteriori) Stato stima x k | k = x k | k - 1 + K k ˜ y k Stima della covarianza stimata (a posteriori) P k | k = ( I - K k H k ) P k | k - 1 $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

$K_k$$\tilde{\textbf{y}}_k$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$

• $\textbf{H}_k$

• $\textbf{S}_k$

Grazie e saluti!

$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

ti renderai conto che le magnitudini relative delle matrici ($R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

Sostituendo il primo limite nell'equazione di aggiornamento della misurazione

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

$R$ è piccola, il che significa che le misurazioni sono accurate, la stima dello stato dipende principalmente dalle misurazioni.

$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

Il guadagno di Kalman ti dice quanto voglio cambiare il mio preventivo dando una misurazione.

${\bf S}_k$${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$${\bf x}_k$${\bf P}_k$

${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

Jav_Rock ha capito. In realtà se scrivi$\bf{K_k}$ come questo

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

il numeratore della frazione rappresenta l'incertezza propagata dal modello while $\bf{R_k}$rappresenta l'incertezza della misurazione. Quindi il valore della frazione rappresenta quanto dovremmo fidarci della misurazione, come spiegato da Jav_Rock.

Per quanto riguarda la $\bf{H_k^-}$, trasforma semplicemente l'osservazione nello stato, perché è lo stato che vogliamo aggiornare, non l'osservazione.

Per concludere, il guadagno $\bf{K_k}$ calcola quanta correzione dovremmo prendere dall'osservazione e trasformare la correzione dell'osservazione in correzione dello stato, che porta all'aggiornamento della stima dello stato:

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

Sto lavorando all'algoritmo Kalman Filter (KF). Ho osservato che il guadagno di Kalman si occupa della convergenza dell'algoritmo nel tempo, ovvero della velocità con cui l'algoritmo corregge e minimizza il residuo.

Venendo all'equazione scegli un valore di guadagno iniziale kalman e variarlo da basso ad alto, che può darti un valore approssimativo.