Discreta simmetria di trasformata di Fourier

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Stavo leggendo il capitolo sulle trasformazioni discrete di Fourier nel libro di Lyons - Capire l'elaborazione del segnale digitale - e non riuscivo a capire l'ultimo paragrafo sulla simmetria.

C'è una proprietà di simmetria aggiuntiva del DFT che merita di essere menzionata a questo punto. In pratica, ci viene occasionalmente richiesto di determinare il DFT delle funzioni di input reali in cui l'indice di input è definito su valori positivi e negativi. Se quella funzione di input reale è pari, allora è sempre reale e pari; cioè, se il reale , allora è in generale diverso da zero e $n$ $X(m)$ $x(n) = x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$ è zero. Al contrario, se la funzione di input reale è dispari, , allora è sempre zero e è, in generale, diverso da zero. $x(n) = −x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

Nota: $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

In primo luogo, cosa si intende per "dispari" e "pari"? Sospetto sia il numero di campioni nel segnale di input, ma questo mi porta alla mia seconda domanda,
Perché zero con funzioni di input reali che sono pari e perché, con funzioni di input reali che sono dispari, zero e generalmente diversi da zero? $X_{\textrm{imag}}(m)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

discrete-signals dft

— qualcuno
fonte

it.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions

— endolith

Sì, dopo la risposta di Hilmar, ho capito che si riferiva al testo.

— someguy,

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Pari e dispari si riferiscono alla simmetria intorno a . $n = 0$

Anche significa ; è possibile ottenere la parte per semplicemente eseguendo il mirroring della parte per sulla riga . $x[n] = x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$

Dispari significa ; puoi ottenere la parte per semplicemente specchiando la parte per sulla linea e moltiplicandola per . $x[n] = -x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$ $-1$

Un'onda del coseno è pari, l'onda sinusoidale è dispari.

Questi sono solo casi speciali della simmetria generale che dice

se è reale in un dominio, è coniugato simmetrico nell'altro.

Coniugare simmetrico significa che la parte reale è pari e la parte immaginaria è dispari. La maggior parte delle persone sa che un segnale di dominio in tempo reale come uno spettro simmetrico coniugato, ma va anche al contrario: un segnale di dominio del tempo simmetrico coniugato ha uno spettro reale valutato.

— Hilmar
fonte

Ah, immaginare un'onda coseno e un'onda sinusoidale mi ha aiutato a capire le funzioni di input dispari e persino. Grazie.

— someguy,

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La risposta di Hilmar è ovviamente perfettamente corretta, ma penso che ci siano diversi punti che Lyons non ha affrontato nella dichiarazione citata dal PO (o forse ne ha parlato in precedenza e ha scelto di non ripetere se stesso nel paragrafo citato dal PO) .

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ $N$ $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ $N$

\begin{aligned} X [m] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1, \\ x [n] & = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} X [m] \exp (\frac{j 2 π n m}{N}), n = 0, 1, \dots, N - 1. \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$

m, n

$m, n$

[0, N - 1]

$[0, N-1]$

N

$N$

x [\cdot]

$x[\cdot]$

X [\cdot]

$X[\cdot]$

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(X [0], X [1], \dots, X [N - 1])

$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$

x [n + i N] = x [n]

$x[n+iN] = x[n]$

X [m + i N] = X [m]

$X[m+iN] = X[m]$

m, n,

$m, n,$

i

$i$

$N$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

X^{(0)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [N], x [N + 1], \dots, x [2 N - 1])

$(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$

X^{(1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k + N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [- N], x [- N + 1], \dots, x [- 1])

$(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$

X^{(- 1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k - N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

N

$N$

$x[n] = x[-n]$ $n$ $x[-1] = x[1]$ $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$ $x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1]) = (x [0], x [1], x [2], x [3], \dots, x [3], x [2], x [1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$

x [0]

$x[0]$

N

$N$

— Dilip Sarwate
fonte

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Solo per un chiarimento delle funzioni pari e dispari,

Pari: simmetrico rispetto all'asse y Dispari: simmetrico rispetto all'origine

E senza entrare nei dettagli matematici, la DFT della funzione a valore reale è simmetrica, ovvero la risultante funzione di Fourier ha parti sia reali che immaginarie che sono immagini speculari rispetto alla componente di frequenza 0. Ciò non accade nel caso in cui si prenda DFT di una funzione complessa.

— Naresh
fonte

> Pari: simmetrico rispetto all'asse y Dispari: simmetrico rispetto all'origine. Potresti spiegare un po 'di più cosa significa questo, forse dando esempi di funzioni che consideri rispettivamente pari e dispari? Ho la sensazione che forse la tua definizione consenta a una funzione di essere sia pari che dispari. È così?

— Dilip Sarwate,

Ciao Dilip, se una funzione è un'immagine speculare rispetto all'asse y, è pari. Ad esempio, il coseno è un'immagine speculare rispetto all'asse Y. È una funzione uniforme. Per la funzione dispari, è un riflesso rispetto all'origine. Significa che rifletti sia rispetto a X che a Y. Come la funzione seno. Puoi semplicemente guardare la trama e dire se è una funzione pari o dispari.

— Naresh,