Proprietà statistiche delle stime di Kalman sotto il rumore gaussiano

Per un modello di stato-spazio lineare con statali e di uscita rumore gaussiano indipendenti e indovinare perfetto per stato iniziale, fare stime Kalman hanno le seguenti proprietà:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

dove

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

è lo stato al momento , che è casuale $x_k$ $k$
esono esitmati di Kalman, ovvero output del filtro Kalman. $\hat{x}_{k|k}$ $P_{k|k}$

Ci sono riferimenti che menzionano questi?

Grazie!

kalman-filters

— Tim
fonte

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

@Jason: sì, è ...

— Tim

Risposte:

Le seguenti due affermazioni equivalgono a dire:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) Che lo stimatore sia imparziale ; e

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Che lo stimatore sia coerente .

$\mathbf{x}_{k|k}$

Se (1) non è vero, allora l'errore quadratico medio (MSE) sarebbe il bias più la varianza (nel caso scalare). Chiaro, questo è più grande della sola varianza e quindi non ottimale.

Se (2) non è vero (ovvero la covarianza calcolata dal filtro è diversa dalla covarianza vera), anche il filtro sarà subottimale. Poiché il guadagno di Kalman si basa sulla covarianza statale calcolata, un errore nella covarianza comporterà un errore nel guadagno. Errore nel guadagno significa una ponderazione non ottimale delle misurazioni.

(In questo caso, entrambe le condizioni sono vere per un filtro correttamente modellato. Gli errori nella modellazione, come il modello dinamico o le covarianze del rumore, renderanno il filtro non ottimale).

Fonte: Bar-Shalom , in particolare la Sezione 5.4 a pagina 232-233.

— Damien
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$x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

sfondo

$x_k$ $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Come riferimento: il documento di Kalman stesso:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
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{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

@Drazick Al rumore di processo viene solitamente assegnato il simbolo w, con varianza Q. xk è lo stato del sistema, non avrebbe alcun senso che gli stati siano casuali; la stima dall'altra, essendo una variabile casuale, ha un senso

— aiao

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

w

$w$

k

$k$

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$