Qual è la differenza tra convoluzione e correlazione incrociata?

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Ho trovato su più siti che la convoluzione e la correlazione incrociata sono simili (incluso il tag wiki per la convoluzione), ma non ho trovato da nessuna parte come differiscono.

Qual è la differenza tra i due? Puoi dire che l'autocorrelazione è anche una sorta di convoluzione?

convolution autocorrelation cross-correlation

— aspetto
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Potrebbe essere interessante notare che per funzioni pari e reali, la correlazione incrociata e la convoluzione producono lo stesso risultato.

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Uno usa una stella a 5 punte ★ e l'altro usa una stella a 6 punte ✶.

— endolith

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L'unica differenza tra correlazione incrociata e convoluzione è un'inversione di tempo su uno degli input. La convoluzione discreta e la correlazione incrociata sono definite come segue (per segnali reali; ho trascurato i coniugati necessari quando i segnali sono complessi):

x [n] * h [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n - k]

$x[n] * h[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n-k]$

c o r r (x [n], h [n]) = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n + k]

$corr(x[n],h[n]) = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n+k]$

$h[n] = x[n]$

Modifica: poiché qualcun altro ha appena fatto una domanda duplicata, sono stato ispirato ad aggiungere un'altra informazione: se si implementa la correlazione nel dominio della frequenza utilizzando un algoritmo di convoluzione veloce come overlap-save, è possibile evitare il fastidio del tempo- invertendo prima uno dei segnali coniugando invece uno dei segnali nel dominio della frequenza. Si può dimostrare che la coniugazione nel dominio della frequenza equivale all'inversione nel dominio del tempo.

— Jason R
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Questa risposta va bene per segnali reali, ma Jason ha sollevato segnali di valore complesso, nel qual caso è importante notare che non è del tutto vero che "l'unica differenza è ... inversione del tempo ..." In effetti, coniugati complessi sono necessari su uno dei due segnali nella formula di correlazione (di cui uno coniugato è una questione di convenzione - alcuni dicono di poterlo fare e altri dicono di fare il mah - ma entrambi chiamano un frutto un vegetale). D'altra parte, nessuno dei due segnali è coniugato nella formula di convoluzione.

— Dilip Sarwate,

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ma cosa significa che sono così simili? Usando alcune parole intuitive profonde!

— Diego,

Non vedo come questo lo stia invertendo, piuttosto che spostarlo nella direzione opposta a ciò che è utile?

— Jonathan.

k

$k$

@JasonR, sicuramente questo si traduce in uno spostamento nella direzione opposta? Ho provato a risolverlo e tutto ciò che accade è che l'input x si sposta dall'ingresso h e tutto finisce come zero. jsfiddle.net/ua5d1uo2

— Jonathan.

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[H f] (x) \equiv f (x) * h (x) \equiv \int d x^{'} h (x - x^{'}) f (x^{'})

$[Hf](x) \equiv f(x) * h(x) \equiv \int\mathrm{d}x' h(x-x')f(x')$

[G f] (x) \equiv f (x) ⋆ h (x) \equiv \int d x^{'} h^{*} (x^{'} - x) f (x^{'})

$[Gf](x) \equiv f(x) \star h(x) \equiv \int \mathrm{d}x'h^*(x'-x)f(x')$

G

$G$

H

$H$

f (x) * h (x) = h (x) * f (x),

$f(x) * h(x) = h(x) * f(x),$

$\\\\\\\\$

— chaohuang
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Come studente sono stato coinvolto nello stesso problema come te. Lascia che ti spieghi con le parole più semplici senza matematica.

Convoluzione: viene utilizzato per convolgere due funzioni. Può sembrare ridondante, ma metterò un esempio: vuoi contorto (in un termine non matematico per "combinare") una cellula unitaria (che può contenere tutto ciò che vuoi: proteine, immagine, ecc.) E una struttura reticolare. Il risultato sarebbe che questa cellula unitaria è organizzata in ciascun punto reticolare creando una struttura ripetuta della cellula unitaria organizzata.

Correlazione incrociata: viene utilizzata per identificare una cellula all'interno di una struttura. Ad esempio, hai l'immagine di un piccolo pezzo di una città e un'immagine di tutta la città. Con la correlazione incrociata puoi determinare dove si trova quella piccola immagine all'interno dell'intera immagine della città. Detto più semplice, "scansiona" fino a quando non trova una corrispondenza. Ora il modo in cui ciò viene fatto è trovare un fattore di correlazione incrociata che deriva dalla somma di varie moltiplicazioni di un valore che proviene da ciascuna immagine.

È molto semplice. Se vuoi capire di più la matematica in modo amichevole, guarda questo video. Questo professore di CALTECH lo spiega nel modo migliore che abbia mai visto.

https://www.youtube.com/watch?v=MQm6ZP1F6ms

Buona fortuna.

— Andres
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Ecco una visualizzazione dei due nel caso in cui aiuti con l'intuizione:

http://www.youtube.com/watch?v=Ma0YONjMZLI

— user2084538
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Questa è un'illustrazione scelta molto male della differenza tra le due operazioni perché lascia l'impressione che il risultato di correlazione incrociata sia solo il tempo inverso del risultato di convoluzione.

— Dilip Sarwate,