Perché è importante una fase lineare?

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Se vengono soddisfatte le condizioni di simmetria, i filtri FIR hanno una fase lineare. Questo non è vero per i filtri IIR.

Tuttavia, per quali applicazioni è male applicare filtri che non dispongono di questa proprietà e quale sarebbe l'effetto negativo?

filters filter-design fir

— The Feromone Kid
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Un filtro di fase lineare preserverà la forma d' onda del segnale o componente del segnale di ingresso (nella misura del possibile, dato che alcune frequenze saranno modificate in ampiezza dall'azione del filtro).

Questo potrebbe essere importante in diversi domini:

elaborazione e demodulazione coerenti del segnale , in cui la forma d'onda è importante perché una decisione di soglia deve essere presa sulla forma d'onda (possibilmente nello spazio di quadratura e con molte soglie, ad esempio 128 modulazione QAM), al fine di decidere se un segnale ricevuto rappresentasse un "1 "o" 0 ". Pertanto, preservare o ripristinare la forma d'onda trasmessa originariamente è della massima importanza, altrimenti verranno prese decisioni errate sulla soglia, che rappresenterebbero un piccolo errore nel sistema di comunicazione.
elaborazione del segnale radar , in cui la forma d'onda di un segnale radar restituito potrebbe contenere informazioni importanti sulle proprietà del bersaglio
elaborazione audio , in cui alcuni credono (anche se molti contestano l'importanza) che "allineare il tempo" i diversi componenti di una forma d'onda complessa è importante per riprodurre o mantenere qualità sottili dell'esperienza di ascolto (come "l'immagine stereo" e simili)

— AndyW
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(Ho fatto test di ascolto ABX e sono stato in grado di distinguere tra crossover Linkwitz-Riley simulato di ottavo ordine e senza. I suoni impulsivi diventano "cinguettanti" poiché le alte frequenze arrivano un po 'prima del basso. Quindi il n. 3 non è totalmente inverosimile.)

— endolith

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Inutile dire che la proprietà di conservazione della forma d'onda è applicabile solo per segnali a banda stretta ... Inoltre (per segnali generali a banda larga) il filtro (sia lineare che non) cambierà la forma del segnale tanto quanto la risposta all'impulso si evolve con il segnale. .

— Fat32

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Vorrei aggiungere il seguente grafico alle grandi risposte già fornite.

Quando un filtro ha una fase lineare , tutte le frequenze all'interno di quel segnale saranno ritardate della stessa quantità nel tempo (come descritto matematicamente nella risposta di Fat32).

Qualsiasi segnale può essere decomposto (tramite la serie di Fourier) in componenti di frequenza separati. Quando il segnale viene ritardato attraverso qualsiasi canale (come un filtro), fintanto che tutti questi componenti di frequenza vengono ritardati della stessa quantità, lo stesso segnale (segnale di interesse, all'interno della banda passante del canale) verrà ricreato dopo il ritardo .

Si consideri un'onda quadra, che attraverso l'espansione della serie di Fourier si mostra costituita da un numero infinito di frequenze armoniche dispari.

Nel grafico sopra mostro la somma dei primi tre componenti. Se tutti questi componenti vengono ritardati della stessa quantità, la forma d'onda di interesse è intatta quando questi componenti vengono sommati. Tuttavia, se ogni componente di frequenza viene ritardato di una quantità diversa nel tempo, si verificherà una distorsione significativa del ritardo di gruppo.

Quanto segue può aiutare a fornire ulteriori informazioni intuitive per coloro che hanno un background RF o analogico.

Considera una linea di ritardo a banda larga senza perdita ideale (ad esempio approssimata da una lunghezza del cavo coassiale), che può trasmettere segnali a banda larga senza distorsione.

La funzione di trasferimento di un tale cavo è mostrata nel grafico seguente, con una grandezza di 1 per tutte le frequenze e una fase che aumenta negativamente in proporzione lineare diretta alla frequenza. Più lungo è il cavo, più ripida è la pendenza della fase, ma in ogni caso "fase lineare".

Questo ha senso; il ritardo di fase del segnale 1 Hz che passa attraverso un cavo con un ritardo di 1 secondo sarà di 360 °, mentre un segnale di 2 Hz con lo stesso ritardo sarà di 720 °, ecc ...

Riportando questo nel mondo digitale, $z^{-1}$ è la trasformata z di un ritardo di 1 campione (quindi una linea di ritardo), con una risposta in frequenza simile a quella mostrata, proprio in termini di H (z); una magnitudine costante = 1 e una fase che va linearmente da $0$ a $-2\pi$ da f = 0 Hz a f = fs (la frequenza di campionamento).

La spiegazione matematica più semplice è che una fase che è lineare con frequenza e un ritardo costante sono coppie di trasformate di Fourier. Questa è la proprietà shift della trasformata di Fourier. Un ritardo costante nel tempo di $\tau$ secondi determina una fase lineare in frequenza $-\omega \tau$ , dove $\omega$ è l'asse della frequenza angolare in radianti / sec:

F {g (t - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (t - τ) e^{j ω t} d t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

u = t - τ

$u = t - \tau$

F {g (u)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω (u + τ)} d u

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= e^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω u} d u

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= e^{- j ω τ} G (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— Dan Boschen
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Dan, il tuo grafico della faccia felice e triste mi ha fatto ridere a crepapelle per quanto sia semplicemente informativo! Ben fatto!

— Oreo,

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Solo per aggiungere ciò che è già stato detto, puoi vederlo intuitivamente osservando la seguente sinusoide con frequenza monotonicamente crescente.

Lo spostamento di questo segnale verso destra o sinistra cambierà la sua fase. Ma nota anche che il cambiamento di fase sarà più grande per le frequenze più alte e più piccolo per le frequenze più basse. O in altre parole, la fase aumenta linearmente con la frequenza. Pertanto uno spostamento temporale costante corrisponde a un cambiamento di fase lineare nel dominio della frequenza.

— orodbhen
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Migliore risposta imo.

— Felix Crazzolara,

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τ (ω) = - \frac{d φ (ω)}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

Quindi qual è l'effetto di un filtro con fase non lineare (o ritardo di gruppo dipendente dalla frequenza) sul segnale di ingresso? Un semplice esempio potrebbe essere un segnale di input complicato considerato come una somma di più pacchetti d'onda a diverse frequenze centrali. Dopo il filtraggio, ciascun pacchetto con una particolare frequenza centrale verrà spostato (ritardato) in modo diverso a causa del ritardo del gruppo dipendente dalla frequenza. E questo comporterà un cambiamento nell'ordine del tempo (o nell'ordine dello spazio) di quei pacchetti di onde, a volte drasticamente, a seconda di quanto sia non lineare la fase, che viene chiamata dispersionenella terminologia delle comunicazioni. Non solo la forma d'onda composita, ma anche alcuni ordini di eventi potrebbero andare persi. Questo tipo di canali dispersivi ha effetti gravi come l'ISI (interferenza tra simboli) sui dati trasmessi.

Questa proprietà dei filtri di fase lineari, quindi, è anche conosciuta come proprietà di conservazione della forma d'onda , che è applicabile in particolare ai segnali a banda stretta. Un esempio in cui la forma d'onda è importante, oltre all'ISI come menzionato sopra, è l'elaborazione delle immagini, in cui le informazioni sulla fase della trasformata di Fourier sono di fondamentale importanza rispetto alla grandezza della trasformata di Fourier, per l'intelligibilità dell'immagine. Lo stesso, tuttavia, non si può dire per la percezione dei segnali sonori a causa di un diverso tipo di sensibilità dell'orecchio allo stimolo.

— fat32
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Cosa significa fase lineare generalizzata in questo contesto?

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@ 0 MW Suppongo che sia consentito anche lo spostamento di fase costante, come nella trasformazione di Hilbert .

— Olli Niemitalo,

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La risposta a questa domanda è già stata spiegata chiaramente nelle risposte precedenti. Eppure vorrei provare a presentare un'interpretazione matematica della stessa

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

a r g (H (w)) = K w

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

$e^{jw_{0}t}$

y (t) = | H (w) | * e^{j w_{0} t + j K w_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= | H (w) | * e^{j w_{0} (t + K)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

Pertanto, se la fase è lineare, tutti i componenti di frequenza del segnale subiranno la stessa quantità di ritardo nel dominio del tempo, che si traduce in una conservazione della forma.

— SakSath
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Metterò solo un riassunto per queste grandi risposte di cui sopra:

lo spostamento del segnale nel dominio del tempo comporterà uno sfasamento proporzionale alla frequenza, quindi f (t + dt) sarebbe F (f) e (j2πfdt)
Quando un filtro con una fase di rivestimento risponde a tutte le frequenze del segnale di ingresso a questo filtro verrà spostato con la stessa quantità nel dominio del tempo, in modo che ciò comporti la fattibilità della ricreazione del segnale di ingresso.

— Youssef Rafaat
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