Un integratore che perde è la stessa cosa di un filtro passa basso?

L'equazione che governa un integratore che perde (almeno secondo Wikipedia)

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ .

Un integratore che perde a tempo continuo è quindi la stessa cosa di un filtro passa-basso con costante di tempo , fino a un ridimensionamento dell'ingresso?$A$

Un cosiddetto integratore che perde è un filtro del primo ordine con feedback. Troviamo la sua funzione di trasferimento, supponendo che l'ingresso sia $x(t)$ e l'uscita $y(t)$ :

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

dove indica l'applicazione della trasformata di Laplace . Andando avanti:$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(sfruttando la proprietà della trasformata di Laplace che , supponendo chey(0)=0).$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

Questo sistema, con funzione di trasferimento , ha un unico polo a s = - A . Ricorda che la sua risposta in frequenza alla frequenza ω può essere trovata lasciando s = j ω :$H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Per avere una visione approssimativa di questa risposta, prima lascia :$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Così il guadagno DC del sistema è inversamente proporzionale al fattore di feedback . Quindi, lascia w → ∞ :$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

La risposta in frequenza del sistema va quindi a zero per le alte frequenze. Questo segue il prototipo approssimativo di un filtro passa-basso. Per rispondere alla tua altra domanda rispetto alla sua costante di tempo, vale la pena dare un'occhiata alla risposta nel dominio del tempo del sistema. La sua risposta all'impulso può essere trovata trasformando inversa la funzione di trasferimento:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

dove è la funzione step di Heaviside . Questa è una trasformazione molto comune che spesso si trova nelle tabelle delle trasformazioni di Laplace . Questa risposta all'impulso è una funzione di decadimento esponenziale , che di solito è scritta nel seguente formato:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

dove è definito come costante di tempo della funzione. Quindi, nel tuo esempio, la costante di tempo del sistema è τ = 1$\tau$ .$\tau = \frac{1}{A}$

La risposta in frequenza è la stessa, sì, ma l'applicazione è diversa:

• Con un filtro passa-basso, il segnale è nella banda passante. La frequenza di taglio del filtro è impostata al di sopra della frequenza più alta che si desidera mantenere nel segnale.
• Con un integratore che perde, il segnale è nella banda di arresto. La frequenza di taglio del filtro è impostata al di sotto della frequenza più bassa nel segnale.

Inoltre, gli integratori sono sempre di primo ordine, mentre i filtri passa-basso possono essere di qualsiasi ordine.