Come posso scomporre un segnale in onde quadrate?

Ho a che fare con segnali che sono una sovrapposizione di diverse onde quadrate con ampiezze e fasi diverse. Normalmente, si decompone un segnale in onde sinusoidali con l'aiuto della trasformata di Fourier, ma in questo caso particolare una decomposizione in onde quadrate sarebbe molto più efficace. Una trasformata di Fourier produrrebbe uno spettro molto complicato, mentre una decomposizione ad onda quadra dovrebbe dare solo poche linee chiare.

So che una tale decomposizione è possibile. In effetti, potrei usare qualsiasi funzione periodica come base per la decomposizione e questo è menzionato in molti testi sull'argomento. Ma non sono mai riuscito a trovare una formula o un esempio esplicito per una decomposizione in una base non sinusoidale.

Il mio approccio per decomporre un segnale costituito da campioni , era di usare una formula simile a DFT where è un'onda quadra con valore reale con una frequenza volte la frequenza di base. Ma questo non è certamente completo, dal momento che non ottengo alcuna informazione di fase per le onde quadrate costituenti e non ho potuto invertire la procedura. $N$ $x_k$

u_{K} = Σ_{n = 0}^{N - 1} X_{n} R_{K} (n)

$u_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \, \mathcal{R}_k(n)$

R_{k}

$\mathcal{R}_k$

k

$k$

Come posso scomporre i miei segnali in onde quadrate con ampiezza e fase ben definite?

— Sentinella
fonte

una grave decomposizione inizierebbe trovando (o definendo) una base di vettori di segnale N, che coprirebbe lo spazio vettoriale del segnale di tuo interesse. Quindi usereste una misura interna del prodotto per calcolare i coefficienti di tali decomposizioni del segnale in termini di vettori di base.

— Fat32

Fat32 ha ragione: vuoi essere sicuro che i segnali che ti interessano siano attraversati dall'insieme di onde quadrate che hai scelto. In generale vorrai anche che la base sia ortonormale.

— MBaz,

"Ma questo non è certo completo, poiché non ottengo alcuna informazione di fase per le onde quadrate costituenti": in una trasformata di Fourier per una singola frequenza sono necessari due coefficienti reali (o un complesso), il primo è il risultato del convoluzione con un coseno e il secondo con un seno (che è solo un

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}{2}$ coseno spostato). Quindi immagino che per i quadrati e per un determinato periodo

T

$T$ devi anche scomporre in a

\frac{T}{2}

$\frac{T}{2}$ onda quadra spostata.

— agemO

Ciò che è descritto nella domanda è molto vicino alla trasformata discreta di wavelet (DWT) con l'uso di Haar Wavelet .

Il DWT decompone un segnale in una somma di funzioni ortogonali dilatate e tradotte che non devono necessariamente essere trigonometriche . Il DWT non trasforma un segnale dal dominio del tempo a un dominio della frequenza ma a uno spazio di scala in cui viene preservata la dimensione "tempo". L'onda di Haar è effettivamente solo un periodo di un'onda quadra e, a causa della sua dilatazione e replicazione mentre la trasformazione avanza, sembrerebbe verificarsi a frequenze diverse. Per ulteriori informazioni sul collegamento tra livello di decomposizione e frequenza, consultare questo collegamento

Un'altra trasformazione che potrebbe essere di aiuto qui, è la trasformata di Walsh-Hadamard che fa esattamente questo, decompone un segnale in una somma di forme d'onda quadrate che sono ortogonali (si noti anche la sequenza lì).

Per un breve esempio che sembra essere vicino a ciò che stai cercando, consulta questo link

Spero che sia di aiuto.

— AA
fonte

Io voto per Walsh!

— Rrogers,