Filtro Kalman in pratica

Ho letto la descrizione del filtro Kalman, ma non sono chiaro su come si combini nella pratica. Sembra essere principalmente indirizzato a sistemi meccanici o elettrici poiché desidera transizioni di stato lineari e che non è utile per il rilevamento di anomalie o per individuare transizioni di stato per lo stesso motivo (vuole transizioni di stato lineari), è corretto? In pratica, come si trovano in genere i componenti che dovrebbero essere conosciuti in anticipo per utilizzare un filtro Kalman. Ho elencato i componenti, per favore correggimi se la mia comprensione di ciò che deve essere conosciuto in anticipo non è corretta.

Credo che questi non debbano essere conosciuti "in anticipo":

• Rumore di processo $\mathbf w$
• Rumore di osservazione $\mathbf v$
• Stato reale (questo è ciò che il filtro Kalman tenta di stimare)$\mathbf x$

Credo che questi debbano essere conosciuti "in anticipo" per usare un filtro Kalman:

• Il modello di transizione di stato lineare che applichiamo a (dobbiamo conoscerlo in anticipo, quindi i nostri stati devono essere governati da leggi note, ovvero il filtro Kalman è utile per correggere le misurazioni quando il passaggio da uno stato a un altro è ben compreso e deterministico fino a un po 'di rumore - non è un cercatore di anomalie o uno strumento per trovare cambiamenti di stato casuali)$\mathbf x$
• Controlla il vettore $\mathbf u$
• Controlla il modello di input che viene applicato per controllare il vettore (dobbiamo conoscerlo in anticipo, quindi per usare un filtro Kalman dobbiamo anche sapere in anticipo in che modo i nostri valori di controllo influenzano il modello, al massimo un po 'di rumore gaussiano, e il l'effetto deve essere lineare)$\mathbf u$
• Covarianza del rumore di processo (che sembra essere dipendente dal tempo nell'articolo di Wikipedia, cioè dipende dal tempo k ) - sembra che dobbiamo conoscerlo in anticipo e nel tempo, presumo che in pratica sia considerato costante ?$\mathbf Q$$k$
• Un modello di osservazione (lineare) $\mathbf H$
• Covarianza (che sembra essere anche dipendente dal tempo nell'articolo di Wikipedia) - problemi simili a $\mathbf R$$\mathbf Q$

PS E sì, so che molti di questi dipendono dal tempo, ho appena lasciato cadere tutto il disordine degli abbonamenti. Sentiti libero di immaginare la piccola lettera a destra e in basso da ogni nome di variabile, se lo desideri.$k$

Per alcuni contesti, torniamo alle equazioni di Kalman Filter:

$\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{F}(k) \mathbf{x}(k) + \mathbf{G}(k) \mathbf{u}(k) + \mathbf{w}(k) \\ \mathbf{z}(k) = \mathbf{H}(k) \mathbf{x}(k) + \mathbf{v}(k)$ .

In breve, per un semplice KF alla vaniglia:

deve essere completamente definito. Ciò deriva direttamente dalle equazioni differenziali del sistema. In caso contrario, hai undoppio problema di stima(ovvero stima sia dello stato che del modello di sistema). Se non hai equazioni differenziali del sistema, allora un KF non fa per te!$\mathbf{F}(k)$

$\mathbf{x}(k)$ è, per definizione, inconoscibile. Dopotutto, se lo sapessi, non sarebbe un problema di stima!

Il vettore di controllo deve essere completamente definito. Senza un'ulteriore modellizzazione del sistema, l'unica incertezza sul vettore di controllo potrebbe essere AWGN , che può essere incorporata nel rumore di processo. Matrice nota G ( k $\mathbf{u}(k)$$\mathbf{G}(k)$ relazione l'ingresso di controllo con gli stati, ad esempio in che modo il movimento degli alettoni influisce sul rollio di un aereo. Questo è matematicamente modellato come parte dello sviluppo di KF.

$\mathbf{w}(k)$$\mathbf{Q}(k)$$\mathbf{Q}$

$\mathbf{H}(k)$$\mathbf{z}(k)$

$\mathbf{v}(k)$$\mathbf{R}(k)$

Esistono un numero enorme di "trucchi" che possono essere fatti per aggirare le restrizioni in un semplice KF alla vaniglia, ma questi vanno ben oltre lo scopo di questa domanda.

Ripensamento:

Mentre cercare su Google "Kalman Filter" un milione di hit, ci sono un paio di cose che penso valga la pena di guardare. La pagina di Wikipedia è troppo ingombra per imparare efficacemente :(

Su AVR Freaks , c'è un'introduzione "senza equazioni" al filtro Kalman che ho scritto qualche tempo fa per cercare di introdurre dove è usato per davvero.

Se non hai paura della matematica, ci sono molti libri che vale la pena leggere che sono a livello universitario / post-laurea. Prova Brown e Hwang, che include tutta la teoria e molti sistemi di esempio. L'altro che viene altamente raccomandato ma non ho letto è Gelb , che ha il netto vantaggio di essere economico!