Covarianza vs Autocorrelazione

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Sto cercando di capire se esiste una relazione diretta tra questi concetti. A rigor di termini dalle definizioni, sembrano essere concetti diversi in generale. Più ci penso, tuttavia, più penso che siano molto simili.

Sia $X,Y$ vettori casuali WSS. La covarianza, , è data da dove sta per l'eremita del vettore. $C_{XY}$

C_{X Y} = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$

Sia un vettore casuale WSS. La funzione di autocorrelazione, , è data da $Z$ $R_{XX}$

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Modifica nota Esiste una correzione a questa definizione applicata all'elaborazione del segnale, vedere la risposta di Matt di seguito.

La covarianza non implica un concetto di tempo, presuppone che ogni elemento del vettore casuale sia una diversa realizzazione di un generatore casuale. L'autocorrelazione presuppone che un vettore casuale sia l'evoluzione temporale di un generatore casuale iniziale. Eppure, alla fine, sono entrambi la stessa entità matematica, una sequenza di numeri. Se lasci , allora appare C'è qualcosa di più sottile che mi manca? $X=Y=Z$

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$

autocorrelation covariance proof

— rbell
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La definizione di AutoCorrelation

è erroneamente dichiarata nella domanda come sottolineato da Matt

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

— ijuneja

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Secondo la tua definizione di autocorrelazione, l'autocorrelazione è semplicemente la covarianza delle due variabili casuali e . Questa funzione è anche chiamata autocovarianza . $Z(n)$ $Z(n+\tau)$

A parte questo, nell'elaborazione del segnale, l'autocorrelazione è generalmente definita come

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

cioè, senza sottrarre la media. L'autocovarianza è data da

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Queste due funzioni sono correlate da

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Matt L.
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Se si considera

come una variabile, l'autocorrelazione diventa una funzione di quel "gap temporale" che può fornire informazioni molto interessanti sul set di dati. Guarda la relazione tra autocorrelazione, trasformazioni discrete di Fourier e teorema di Wiener-Khinchin.

τ

$\tau$

— PhilMacKay,

@PhilMacKay: Certo, ma funziona solo per i processi WSS. Ho fornito le definizioni per il caso generale, in cui i processi non sono necessariamente stazionari.

— Matt L.,

Sì, in effetti i processi non stazionari possono essere fastidiosi per l'analisi dei dati, motivo per cui provo sempre a declassare un dato prima di utilizzare i miei amati strumenti statistici! Non è sempre possibile, però ...

— PhilMacKay,

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Nota come la tua definizione di autocorrelazione includa un termine aggiuntivo , che specifica un offset dalle due sequenze di numero e . In effetti, la notazione suggerisce che $\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ è una funzione continua definita per qualsiasi , mentre è uno scalare. $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

Come hai detto, se lo lasci fare $X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

Nella mia esperienza personale (astrofisica, elaborazione di vari sensori), la covarianza è stata utilizzata come coefficiente per verificare la somiglianza di due set di dati, mentre l'autocorrelazione è stata utilizzata per caratterizzare la distanza di correlazione, ovvero la velocità con cui un dato si evolve per diventare un altro dato interamente.

— PhilMacKay
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