Trasformata di Fourier a tempo discreto della sequenza di passi dell'unità

Dai libri di testo sappiamo che il DTFT di è dato da $u[n]$

\begin{matrix} (1) & U (ω) = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}, - π \leq ω < π \end{matrix}

$U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1}$

Tuttavia, non ho visto un libro di testo DSP che almeno pretende di dare una derivazione più o meno sonora di . $(1)$

Proakis [1] deriva la metà destra del lato destro di impostando nella trasformazione di e dice che è valido fatta eccezione per (che è ovviamente corretto). Quindi afferma che al polo della trasformazione dobbiamo aggiungere un impulso delta con un'area di , ma a me sembra più una ricetta che altro. $(1)$ $z=e^{j\omega}$ $\mathcal{Z}$ $u[n]$ $\omega=2\pi k$ $\mathcal{Z}$ $\pi$

Oppenheim e Schafer [2] menzionano in questo contesto

Sebbene non sia del tutto semplice da mostrare, questa sequenza può essere rappresentata dalla seguente trasformata di Fourier:

che è seguito da una formula equivalente a . Sfortunatamente, non si sono presi la briga di mostrarci quella prova "non del tutto chiara". $(1)$

Un libro che in realtà non conoscevo, ma che ho trovato cercando una prova di è Introduzione all'elaborazione del segnale digitale e al design del filtro di BA Shenoi. Nella pagina 138 c'è una "derivazione" di , ma sfortunatamente è sbagliato. Ho fatto una domanda "DSP-puzzle" per fare in modo che la gente mostrasse cosa non va in quella prova.] $(1)$ $(1)$

Quindi la mia domanda è:

Qualcuno può fornire una prova / derivazione di che sia solida o addirittura rigorosa mentre è accessibile per ingegneri matematicamente inclini? Non importa se è appena stato copiato da un libro. Penso che sarebbe bello averlo su questo sito comunque. $(1)$

Si noti che anche su math.SE non si trova quasi nulla di rilevante: questa domanda non ha risposte e che una ha due risposte, una delle quali è errata (identica all'argomento di Shenoi) e l'altra utilizza la "proprietà di accumulazione" , di cui sarei felice, ma poi bisogna provare quella proprietà, che ti riporta all'inizio (perché entrambe le prove dimostrano sostanzialmente la stessa cosa).

Come nota finale, mi è venuta in mente qualcosa come una prova (beh, sono un ingegnere), e lo posterò anche come risposta tra qualche giorno, ma sarei felice di raccogliere altre prove pubblicate o non pubblicate semplici ed eleganti e, soprattutto, accessibili agli ingegneri DSP.

PS: Non dubito della validità di $(1)$ , vorrei solo vedere una o più prove relativamente semplici.

[1] Proakis, JG e DG Manolakis, elaborazione del segnale digitale: principi, algoritmi e applicazioni , 3a edizione, sezione 4.2.8

[2] Oppenheim, AV e RW Schafer, elaborazione del segnale a tempo discreto , 2a edizione, pag. 54.

Ispirato da un commento di Marcus Müller, mi piacerebbe mostrare che come dato dall'Eq. soddisfa il requisito

U (ω)

$U(\omega)$

(1)

$(1)$

u [n] = u^{2} [n] \to U (ω) = \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω)

$u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)$

Se è il DTFT di , allora $U(\omega)$ $u[n]$

V (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}}

$V(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}$

deve essere il DTFT di

v [n] = \frac{1}{2} sign [n]

$v[n]=\frac12\text{sign}[n]$

(dove definiamo ), perché $\text{sign}[0]=1$

V (ω) = U (ω) - π δ (ω) ⟺ u [n] - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sign [n]

$V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n]$

Quindi abbiamo

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) ⟺ {(\frac{1}{2} sign [n])}^{2} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14$

da cui segue quello

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) = DTFT {\frac{1}{4}} = \frac{π}{2} δ (ω)

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)$

Con questo otteniamo

\begin{aligned} \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω) & = \frac{1}{2 π} [(π δ (ω) + V (ω)) ⋆ (π δ (ω) + V (ω))] \\ = \frac{1}{2 π} [π^{2} δ (ω) + 2 π V (ω) + (V ⋆ V) (ω)] \\ = \frac{π}{2} δ (ω) + V (ω) + \frac{π}{2} δ (ω) \\ = U (ω) q.e.d. \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\left[(\pi\delta(\omega)+V(\omega))\star (\pi\delta(\omega)+V(\omega))\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\pi^2\delta(\omega)+2\pi V(\omega)+(V\star V)(\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+V(\omega)+\frac{\pi}{2}\delta(\omega)\\&=U(\omega)\qquad\text{q.e.d.}\end{align}$

— Matt L.
fonte

waaah. Non rompere il mio mondo. Il dubbio in quella formula introduce un regno di caos. Ad esempio,

, e quindi (con un prefattore di definizione FT cont. Dipendente dalla costante

u^{2} (t) = u (t)

$u^2(t) = u(t)$

c

$c$

\begin{aligned} DTFT (u^{2}) (ω) & = c \cdot U (ω) * U (ω) \\ = c π U (ω) + \frac{c}{1 + e^{- j ω}} * U (ω) \\ = c π (π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}) + \frac{c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ = c π^{2} δ (ω) + \frac{2 c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ \overset{magic?}{=} U \end{aligned}

$\begin{align}\text{DTFT}(u^2)(\omega) &=c\,\cdot\, U(\omega)*U(\omega) \\&=c\pi U(\omega)+ \frac{c}{1+e^{-j\omega}}*U(\omega)\\&=c\pi \left(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\right)+\frac{c\pi}{1+e^{-j\omega}}+c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&=c\pi^2\delta(\omega)+\frac{2c\pi}{1+e^{-j\omega}} + c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&\overset{\text{magic?}}=U\end{align}$

— Marcus Müller,

@ MarcusMüller: non c'è dubbio su quella formula, è corretto. La domanda è come mostrarlo in un modo che un semplice ingegnere possa capire. E

risolve il dato DTFT, nessun problema.

u^{2} [n] = u [n]

$u^2[n]=u[n]$

— Matt L.

Mi considero molto semplice, e ciò significa che mi preoccupo quando le cose non si sentono "sicure" quando non riesco a vedere come sono derivate.

— Marcus Müller,

Vedo che ciò che stai cercando non è dimostrare se l'equazione è corretta o meno, ma piuttosto è derivare rigorosamente e direttamente

dai primi principi e dalla definizione di DTFT. Quindi ogni volta che si vuole fare una prova rigorosa che coinvolge gli impulsi, allora credo che si dovrebbe fare meglio riferimento ai libri citati dalla teoria delle funzioni generalizzata: Lighthill-1958 è citato in Opp & Schafer per una discussione sulla funzione degli impulsi e il suo uso nelle trasformazioni di Fourier. Tutte le altre prove dipenderanno inevitabilmente dalle prove fatte su tali riferimenti e non saranno sufficienti a sostituire una prova rigorosa.

U (w)

$U(w)$

— Fat32,

@ Fat32: questo è un punto di vista valido. Penso, tuttavia, che una derivazione ragionevolmente sana sia possibile se accettiamo trasformazioni di base come

e se siamo contenti di definire integrali in base al loro valore principale di Cauchy.

DTFT {1} = 2 π δ (ω)

$\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$

— Matt L.

Risposte:

Cedron Dawg ha pubblicato un interessante punto iniziale in questa risposta . Inizia con questi passaggi:

\begin{aligned} U (ω) & = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n} \\ &= \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}\\ &= \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \end{align}$

Si scopre che il termine all'interno del limite può essere espanso come segue :

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} = & \frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} \cdot \\ [- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) + j (- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω))] \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } ={} &\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} \cdot \\ &\left[-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)+ \\ j(-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega))\right] \end{aligned}$

Il fattore comune al di fuori delle parentesi può essere espresso come :

\frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} = \frac{1}{4 \sin^{2} (ω / 2)}

$\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} = \frac{1}{4\sin^2(\omega/2)}$

La parte reale all'interno delle parentesi equivale anche a :

- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) = 2 \sin (ω / 2) \sin [ω (- N + 1 / 2)]

$-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)= 2\sin(\omega/2)\sin[\omega(-N+1/2)]$

D'altra parte, la parte immaginaria può essere riscritta come :

- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω) = - 2 \sin (ω / 2) \cos [ω (- N + 1 / 2)]

$-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega)=-2\sin(\omega/2)\cos[\omega(-N+1/2)]$

Riscrivendo il termine originale si ottiene che:

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} & = \frac{2 \sin (\frac{ω}{2})}{4 \sin^{2} (\frac{ω}{2})} (\sin [ω (- N + 1 / 2)] - j \cos [ω (- N + 1 / 2)]) \\ = - \frac{\sin [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} - j \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } &=\frac{2\sin\left(\frac \omega 2\right)}{4\sin^2\left(\frac \omega 2\right) } \left( \sin[\omega(-N+1/2)] - j\cos[\omega(-N+1/2)]\right) \\ &=-\frac{\sin[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} - j\frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} \end{align}$

where I used $M=N-1$ and the limit stays unaffected as $M\to \infty$ as well.

According to the 7th definition in this site:

lim_{M \to \infty} - \frac{1}{2 \sin (ω / 2)} \sin [ω (M + 1 / 2)] = - π δ (ω)

$\lim_{M\to \infty} -\frac{1}{2\sin(\omega/2)}\sin[\omega(M+1/2)] = -\pi \delta(\omega)$

So far we have that:

lim_{M \to \infty} \frac{e^{- j ω (M + 1)}}{1 - e^{- j ω}} = - π δ (ω) - j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)}

$\lim_{ M \to \infty } \frac{ e^{-j \omega (M+1)} }{ 1 - e^{-j \omega } } =-\pi\delta(\omega) -j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)}$

If we could prove that the second term on the right of the equality is $0$ in some sense, then we are done. I asked it at math.SE and, indeed, that sequence of functions tends to the zero distribution. So, we have that:

\begin{aligned} U (ω) & = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) + j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)} \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &=\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) +j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)} \\ & =\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) \end{align}$

— Tendero
fonte

This is very nice! I checked it and everything seems to be correct, so that imaginary part must tend to zero in some sense. I'll think about it for a bit.

— Matt L.

@MattL. Let me know if you are able to make any progress!

— Tendero

@MattL. The proof is finally complete!

— Tendero

Good work! I had figured out that the cosine term would tend to zero due to the Riemann-Lebesgue lemma, but my problem was the case

ω = 0

$\omega=0$ . Because the very first formula is based on the geometric sum, which is only valid for

ω \neq 0

$\omega\neq 0$ . It all somehow works out after all, but that's still a minor flaw. I have another derivation that does not split out the term

1 / (1 - e^{- j ω})

$1/(1-e^{-j\omega})$ , in which the case

ω = 0

$\omega=0$ is handled with a bit more care, but it's still an "engineer's proof". I might post it when I have more time.

— Matt L.

I'll provide two relatively simple proofs that do not require any knowledge of distribution theory. For a proof that computes the DTFT by a limit process using results from distribution theory, see this answer by Tendero.

I will only mention (and not elaborate on) the first proof here, because I've posted it as an answer to this question, the purpose of which was to show that a certain published proof is faulty.

The other proof goes as follows. Let's first write down the even part of the unit step sequence $u[n]$ :

\begin{matrix} (1) & u_{e} [n] = \frac{1}{2} (u [n] + u [- n]) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_e[n]=\frac12\left(u[n]+u[-n]\right)=\frac12+\frac12\delta[n]\tag{1}$

The DTFT of $(1)$ is

\begin{matrix} (2) & DTFT {u_{e} [n]} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$\text{DTFT}\{u_e[n]\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{2}$

which equals the real part of the DTFT of $u[n]$ :

\begin{matrix} (3) & U_{R} (ω) = Re {U (ω)} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$U_R(\omega)=\text{Re}\{U(\omega)\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{3}$

Since $u[n]$ is a real-valued sequence we're done because the real and imaginary parts of $U(\omega)$ are related via the Hilbert transform, and, consequently, $U_R(\omega)$ uniquely determines $U(\omega)$ . However, in most DSP texts, these Hilbert transform relations are derived from the equation $h[n]=h[n]u[n]$ (which is valid for any causal sequence $h[n]$ ), from which it follows that $H(\omega)=\frac{1}{2\pi}(H\star U)(\omega)$ . So in order to show the Hilbert transform relation between the real and imaginary parts of the DTFT we need the DTFT of $u[n]$ , which we actually want to derive here. So the proof becomes circular. That's why we'll choose a different way to derive the imaginary part of $U(\omega)$ .

For deriving $U_I(\omega)=\text{Im}\{U(\omega)\}$ we write the odd part of $u[n]$ as follows:

\begin{matrix} (4) & u_{o} [n] = \frac{1}{2} (u [n] - u [- n]) = u [n - 1] - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_o[n]=\frac12\left(u[n]-u[-n]\right)=u[n-1]-\frac12+\frac12\delta[n]\tag{4}$

Taking the DTFT of $(4)$ gives

\begin{aligned} j U_{I} (ω) & = e^{- j ω} U (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (U_{R} (ω) + j U_{I} (ω)) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (π δ (ω) + \frac{1}{2}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ (5) & = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) \end{aligned}

$\begin{align}jU_I(\omega)&=e^{-j\omega}U(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}(U_R(\omega)+jU_I(\omega))-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}\left(\pi\delta(\omega)+\frac12\right)+e^{-j\omega}jU_I(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=\frac12(1+e^{-j\omega})+e^{-j\omega}jU_I(\omega)\tag{5}\end{align}$

where I've used $(3)$ . Eq. $(5)$ can be written as

\begin{matrix} (6) & j U_{I} (ω) (1 - e^{- j ω}) = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) \end{matrix}

$jU_I(\omega)(1-e^{-j\omega})=\frac12(1+e^{-j\omega})\tag{6}$

The correct conclusion from $(6)$ is (see this answer for more details)

\begin{matrix} (7) & j U_{I} (ω) = \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + c δ (ω) \end{matrix}

$jU_I(\omega)=\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+c\delta(\omega)\tag{7}$

But since we know that $U_I(\omega)$ must be an odd function of $\omega$ (because $u[n]$ is real-valued), we can immediately conclude that $c=0$ . Hence, from $(3)$ and $(7)$ we finally get

\begin{aligned} U (ω) & = U_{R} (ω) + j U_{I} (ω) \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} (1 + \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}}) \\ (8) & = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{aligned}

$\begin{align}U(\omega)&=U_R(\omega)+jU_I(\omega)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12+\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12\left( 1+\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\right)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{8}\end{align}$

— Matt L.
fonte