Come funziona la "regione di convergenza" di -transform?

Sono un principiante in DSP e ho pochi dubbi riguardo alla -transform e alla sua regione di convergenza (ROC).$\mathcal Z$

So cosa è una trasformazione . Ma ho problemi con la comprensione del ROC. Prima di tutto ho un po 'di confusione con e . Sono facilmente preso dallo scambio di questi termini. So che il ROC definisce la regione in cui esiste la trasformazioneDal web e dai miei libri si afferma che:$\mathcal Z$$X(z)$$x(z)$$\mathcal Z$

Se è una sequenza di durata finita, allora il ROC è l'intero piano , tranne forse o . Una sequenza a durata finita è una sequenza diversa da zero in un intervallo finito$x[n]$$z$$z = 0$$\lvert z\rvert = \infty$$n_1 \le n \le n_2$

E più tardi dice:

Quando ci sarà un termine e quindi il ROC non includerà . Quando la somma sarà infinita e quindi il ROC non includerà .$n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$$n_1 < 0$$\lvert z\rvert=\infty$

Qui è dove rimango bloccato !. Cosa cercano di dire nella riga sopra " Quando ci sarà un termine e quindi il ROC non includeràz - 1 z = $n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$ " Cosa significano per ? Sostituiscono z come 0 , in tal caso in quale equazione?$z=0$$z$$0$

Come calcoliamo la regione di convergenza per una sequenza infinita?

Ad essere sincero, ho pensato che la teoria alla base della trasformazione Z fosse un po 'opaca anche al college. Con il senno di poi, un corso di analisi complessa avrebbe reso più chiaro. E anche a me non piacciono le convenzioni notazionali che sembrano essere usate per queste cose. A rigor di termini, la solita convenzione qui è quella

• indica una sequenza temporale discreta $x[n]$
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • le parentesi indicano un argomento discreto
• indica una funzione trasformata a valore continuo $X(z)$
  • (è un numero complesso)$z\in\mathbb{C}$
  • le parentesi indicano una funzione che accetta un parametro a valore continuo
  • la maiuscola indica una versione trasformata di qualche altra funzione / sequenza x (una notazione simile viene usata per le trasformate di Fourier: F ( j ω ) ↔ f ( t $X$$x$$F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

Cosa significano per z = 0? Sostituiscono z come 0, in tal caso in quale equazione?

Significano, basta inserire nella tua solita definizione di Z-transform.$z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

Generalmente (più precisamente, quando per alcuni n ≠ 0 ), questa somma divergerà (all'infinito) per alcuni z complessi . Ad esempio, lascia che x [ 0 ] = 1 , x [ 1 ] = 1 e x [ n ] = 0 per n < 0 e n > 1 . Quindi X ( z ) = 1 + $x[n] \ne 0$$n \ne 0$$z$$x[0] = 1, x[1] = 1$$x[n]=0$$n<0$$n>1$ . Il ROC non includez=0, per lim z → 0 X(z)=$X(z) = 1 + z^{-1}$$z=0$$\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Quando il tuo testo dice " Quando ci sarà un termine z - 1 e quindi il ROC non includerà z = $n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ ", che cosa significano con ciò, quando è diverso da zero per alcuni n > 0 , è inevitabile che la trasformata z includa un termine z - n , che diverge all'infinito in z = 0 . È tutto.$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

Come calcoliamo la regione di convergenza per una sequenza infinita?

Un sacco di matematica. Ha!

Srsly, il modo in cui ciò viene fatto è ottenere una formulazione algebrica per la sequenza in questione, collegarla alla definizione della trasformata Z e utilizzare gli strumenti disponibili dall'analisi delle serie geometriche (e serie di potenze complesse) per determinare dove questa Z -trasforma converge / diverge. In pratica, determinare se converge è la domanda più importante a cui rispondere, perché determina la stabilità e se è possibile ottenere o meno una risposta in frequenza dal sistema, ecc. Ma anche la causalità potrebbe essere importante, a seconda di ciò che si sta facendo.$|z|=1$