Perché l'autocorrelazione raggiunge il suo picco a zero?

So che lo spostamento dello zero nella funzione di autocorrelazione è uguale alla sua energia, tuttavia, vorrei capire perché il picco è a zero.

Stai cercando una prova formale o l'intuizione dietro questo? Nel secondo caso: "Nulla può essere più simile a una funzione di se stesso". L'auto-correlazione a lag misura la somiglianza tra una funzione e la stessa funzione spostata da . Si noti che se è periodica, spostato di qualsiasi multiplo intero di e coincidono, quindi l'autocorrelazione ha una forma a pettine - con picchi ai multipli interi del periodo con la stessa altezza del picco centrale.f τ f f τ $\tau$$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

La funzione di autocorrelazione di un segnale aperiodico di energia finita a tempo discreto è data da per segnali reali e segnali complessi. Limitando noi stessi a segnali reali per facilitare l'esposizione, consideriamo la somma . Per il ritardo fisso e un dato , avrà tipicamente un valore positivo o negativo. Se accade che per un particolare ritardo , non è negativo per tutti , allora tutti i termini nella somma si sommano (nessuna cancellazione) e quindi

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ $x[m]x[m-n]$$n$$m$$x[m]x[m-n]$$n$$x[m]x[m-n]$$m$$R_x[n]$x [ m - n ] x [ m ] x [ m - n ] x [ m ] x x [ m ] = { sin ( 0,1 π m )è garantito per avere un valore positivo. In effetti, la somma sarà maggiore se tutti i picchi in allineano con i picchi in e le valli in allineano con le valli in . Ad esempio, se è una funzione sinc sovracampionata, diciamo, con picchi a e valli a , quindi avrà i massimi a (e per lo stesso motivo, avrà$x[m-n]$$x[m]$$x[m-n]$$x[m]$$x$ $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ $m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$$R_x[n]$n=0,±25,±45,…n=±15,±$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$minimi a quando le cime si allineano con le valli). Il massimo globale di è ovviamente in ritardo quando il picco più alto in e coincidono. In effetti, questa conclusione si applica non solo a questo segnale sincero ma a qualsiasi segnale. A ritardo , abbiamo e siamo garantiti che non solo tutti i picchi e le valli sono allineati con ciascuno altro (non importa dove si verificano in ) ma anche che le vette più alte e le valli più profonde siano allineate in modo appropriato.$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$R x [ n ] n = 0 x [ m ] x [ m - n ] n = 0 R x [ 0 ] = ∞ ∑ m = - ∞ ( x [ m ] ) 2 x [ m ]$R_x[n]$$n = 0$$x[m]$$x[m-n]$ $n = 0$ $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ $x[m]$

Più formalmente, per i pedanti come @JohnSmith che richiedono prove formali, la disuguaglianza di Cauchy afferma che per sequenze con valori complessi e , Limitando noi stessi a sequenze con valori reali solo per facilità di esposizione, una versione più dettagliata dice che dove l' uguaglianza mantiene il limite superiore (inferiore) se esiste un numero positivo (negativo) tale che , (ovvero$u$$v$

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ $\lambda$$u = \lambda v$$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ dove ( )). Riconoscendo che le somme all'interno delle radici quadrate sono le energie e delle sequenze, possiamo scrivere che Impostando e dove è un numero intero, abbiamo quello e riconoscendo che ora$\lambda > 0$$\lambda < 0$$\mathcal E_u$$\mathcal E_v$ $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ $u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n]$$n$ $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ $\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, abbiamo quello con uguaglianza trattenuta in uno dei limiti se per tutti i . Infine, notando che e che quando , la sequenza è identica alla sequenza (cioè è il numero reale positivo tale che per tutti ), abbiamo che che mostra che ha un valore di picco a $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ $x[m] = \lambda x[m-n]$$m$ $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ $n=0$$u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$$\lambda = 1$$u[m] = \lambda v[m]$$m$ $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ $R_x[n]$$n=0$, tutti gli altri valori di autocorrelazione sono inferiori a questo picco.

---

Quando è un segnale periodico a potenza finita, le somme fornite sopra per divergono. In tali casi, si utilizza la funzione di autocorrelazione periodica dove è il periodo di , che è, per tutti i numeri interi . Si noti che è una funzione periodica di . Ora, mentre è vero cheper , anche il valore massimo si ripete periodicamente:$x[m]$2 N N = 2 [ 1 - 1 ] [ 2 - 2 ] R x [ n ] 2 n 0 - 2 n N$R_x[n]$

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ $N$$x[m]$$x[m] = x[m-N]$$m$$R_x[n]$$n$$R_x[0] \geq |R_x[n]|$$1 < n < N$$R_x[0]$$R_x[kN] = R_x[0]$ per tutti i numeri interi . Si noti inoltre che è possibile che per alcuni , in genere a se è pari e così possiamo avere valli più profonde delle vette più alte nella funzione di autocorrelazione periodica . L'esempio più semplice di tale sequenza è quando e un periodo della sequenza è cui autocorrelazione periodica è solo la sequenza periodica , cioè alternando picchi e valli con l'autocorrelazione con valore di picco quando$k$$R_x[n] = -R_x[0]$$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$$n = N/2$$N$$N=2$$[1 ~ -1]$$[2 ~ -2]$$R_x[n]$$2$$n$è un numero intero pari (non dimenticare che è un numero intero pari!) e con valore "anti picco" a valori dispari di . Più in generale, abbiamo questo fenomeno ogni volta che è pari e un periodo può essere scomposto in .$0$$-2$$n$$N$$\vec{x}$$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

utilizzando

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

si può facilmente dimostrarlo

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

il primo termine è semplicemente e il secondo termine è un numero non negativo che viene sottratto dal primo. ciò significa che non può superare per nessun .R x [ m ] R x [ 0 ] $R_x[0]$$R_x[m]$$R_x[0]$$m$